Verschiedene Fragen - konkav -surjektive Abbildung etc.

Question

kann mir jemand bei diesen Aufgaben eine Hilfestellung geben?

Meine Überlegung zu (a): Wenn die Funktion streng konkav ist, hat sie doch zwangsläufig genau 1 Maximum, aber wie beweise ich das?

zu (b): a und b müssen > 1 sein, also positiv. Die Wurzel aus dem produkt von a und b ist auch positiv, somit müsste der Logarithmus einer positiven Zahl doch auch positiv , also > 0 sein.  Oder?

zu (c): keine Ahnung :(

zu (d): Eine Funktion 3. Grades hat doch 3 Nullstellen. Wenn sie also 3 Mal die x-Achse berührt ergibt sich doch wieder automatisch mindestens 1 Maximum. Aber wie man das beweisen soll weiß ich nicht.

zu (e): Hier würde ich einfach Zahlen einsetzen, z.B. a = -1; b = 1; c = -2.

Nach dem ausrechnen bleibt dann 2<= -2 stehen, was falsch ist. Reicht das als Beweis aus?

Schon mal ein Dankeschön im Voraus.

Answer 1

(a) f(x) = √x ist streng konkav, hat aber kein Maximum.

(b) ln (1/e) = -1

(c) f: ℝ⁺→ℕ mit x ↦ x falls x∈ℕ und x ↦ 1 falls x ∈ ℝ⁺\ℕ ist surjektiv.

(d) Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat maximal 3 Nullstellen. Es können auch weniger sein. Was ist die einfachste ganzrationale Funktion dritten Grades?

(e) Reicht als Beweis aus.