Aloha :)
Die Funktion ist genau dann monoton fallend, wenn die erste Ableitung nicht-positiv ist:$$f'(x)\stackrel{!}{\le}0\implies x\ln(x)\le0\stackrel{(x>0)}{\implies}\ln(x)\le0\stackrel{(e^{\cdots})}{\implies} x\le<e^0\implies x\le1$$Für \(x\in(0;1]\) ist die Funktion monoton fallend.
Über das Krümmungsverhalten der Funktion gibt das Vorzeichen der 2-ten Ableitung Auskunft. Die Funktion ist konkav, also rechtsgektrümmt, wenn die 2-te Ableitung nicht-positiv ist.$$f''(x)\le0\implies1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac1x\le0\implies\ln(x)+1\le0\implies\ln(x)\le-1$$$$\stackrel{(e^{\cdots})}{\implies} x\le e^{-1}=\frac1e$$Für \(x\in(0;\frac1e]\) ist die Funktion konkav.
