Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: lim x → ∞ (1/x - cot(x))

Question

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 - \cos \left( \frac { x } { 2 } \right) } { 1 - \cos ( x ) } $$

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \frac { 1 } { x } - \cot ( x ) \right) $$

$$ \lim _ { x \rightarrow \frac { \pi } { 2 } } \left( x - \frac { \pi } { 2 } \right) \tan ( x ) $$

Answer 1

Wende die Regel von L'Hospital an:$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 - \cos \left( \frac { x } { 2 } \right) } { 1 - \cos ( x ) }$$$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\frac{\text{d}}{\text{dx}}\left( 1 - \cos \left( \frac { x } { 2 } \right)\right) } {\frac{\text{d}}{\text{dx}}( 1 - \cos ( x )) }$$$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin\left(\frac{x}{2}\right) } { 2\sin(x)}$$$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin\left(\frac{x}{2}\right) } {2\cdot  2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right)}$$$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {1 } {4\cdot  \cos\left(\frac{x}{2}\right)}$$$$\frac {1 } {4\cdot  \cos\left(\frac{0}{2}\right)}=\frac{1}{4}$$

Schreibe \(\cot(x)\) zu \(\frac{1}{\tan(x)}\). Subtrahiere die beiden Brüche:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan(x)-x}{x\cdot \tan(x)}$$ Wende die Regel von L'Hospital an. Vereinfache und verwende die Regel noch einmal, bis die unbestimmten Ausdrücke weg sind.