Alle reellen Lösungen von 1-cos(x)*cot(x)+sin(x)=0. Verstehe Lösungsweg nicht

Question

Ich soll für folgende Gleichung alle reellen Lösungen bestimmen:

1-cos(x)*cot(x)+sin(x)=0

Könnte mir bitte jemand die Umstellung erläutern, verstehe es einfach nicht...

Lösung:

sin(x)-cos²(x)+sin²(x)=0

->sin(x)-(1-sin²x))+sin²(x)=0

->2sin²(x)+sin(x)-1=0

Answer 1

1 - COS(x)·COT(x) + SIN(x) = 0

1 - COS(x)·COS(x)/SIN(x) + SIN(x) = 0

SIN(x) - COS(x)·COS(x) + SIN(x)^2 = 0

SIN(x) - COS(x)^2 + SIN(x)^2 = 0

SIN(x) - (1 - SIN(x)^2) + SIN(x)^2 = 0

SIN(x) - 1 + SIN(x)^2 + SIN(x)^2 = 0

2·SIN(x)^2 + SIN(x) - 1 = 0

2·z^2 + z - 1 = 0 --> z = 0.5 ∨ z = -1

SIN(x) = 0.5 --> x = 5/6·pi ∨ x = pi/6

SIN(x) = -1 --> x = 3/2·pi

Das sind jetzt nur die Grundlösungen im Intervall [0 ; 2·pi].

Comments

Könntest du mir die Rechnung von Zeile 2 auf 3 erklären? Verstehe ich nicht so ganz wie hier gerechnet werden muss.

Vielen Dank schon mal für die Rückmeldung!:)

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Du multiplizierst die Gleichung mit SIN(x)

1 - COS(x)·COS(x)/SIN(x) + SIN(x) = 0

SIN(x) - COS(x)·COS(x) + SIN(x)^2 = 0

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Vielen Vielen lieben Dank! hab die Aufgabe jetzt verstehen können :)!

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Ok vielleicht doch noch eine Frage, Wieso ist der cot(x) = cos(x)/sin(x)

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So ist der Cotangens definiert.