Konvergenzradius ausrechnen: (k^2+4k+4)/(2^{k+2}) * (2*2^{k+2})/( k^2+6k+9) =2 Warum?

Question

Ich bin gerade am lernen und habe in der Lösung folgende Lösung:

(k²+4k+4)/(2^k+2) * (2*2^k+2)/( k²+6k+9) =2

Leider kann ich das Ergebnis nicht nachvollziehen.

       

Answer 1

du hast vergessen den limes mit aufzuschreiben:

lim k--> ∞ (k²+4k+4)/(2^k+2) * (2*2^k+2)/( k²+6k+9)=lim k--> ∞ 2*(k²+4k+4)/(( k²+6k+9))

den Bruch mit 1/(k^2) erweitern:

lim k--> ∞ 2*(1+4/k+4/k^2)/(( 1+6/k+9/k^2))

die Terme mit dem k sind jetzt alle Nullfolgen, deshalb

lim k--> ∞ 2*(1+4/k+4/k^2)/(( 1+6/k+9/k^2))=2*(1+0+0)/(1+0+0)=2

Answer 2

 lim (k^2+4k+4)/(2^{k+2}) * (2*2^{k+2})/( k^2+6k+9)      | Bruchmultiplikation

 = lim (k^2+4k+4)*(2*2^{k+2}) /((2^{k+2} * ( k^2+6k+9))      | kürzen

= lim  (k^2+4k+4)*(2*)) /((( k^2+6k+9))      | oben und unten durch k^2

= lim (( 1 + 4/k + 4/k^2)*2)/ ( 1 + 6/k + 9/k^2)       | Grenzübergang

= (( 1+0+0)*2)/(1+0+0)         = 2*1/1 = 2 

Comments

Wie genau kommt man darauf den Bruch mit K² zuerweitern?

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Erweitern mit " 1/k^2 "  ist ein Trick, den man in der Regeln behandelt, wenn man Grenzwerte von Bruchtermen zu berechnen lernt.