Konvergenzradius berechnen: Summe(2 bis uenendlich) (1/9(z^{2}-4iz-4)^{k}

Question

Summe (2 bis uenendlich)  (1/9(z^{2}-4iz-4)^{k}

Komme mit der Berechnung der Summe nicht voran.

Lösung soll sein: p=3

Answer 1

Summe(2 bis uenendlich)  (1/9(z²-4iz-4)^k  

Da kann ja mit der Klammer was nicht stimmen, ist

wohl eher so:

Summe(2 bis unendlich)  (1/9(z²-4iz-4) )^k    

substituiere     u   =    (z²-4iz-4)  =  ( z-2i)²

Dann hast du

Summe(2 bis unendlich)  (1/9 * u  )^k    

= Summe(2 bis unendlich)  (1/9) ^k  * u ^k    

Mit Quotientenkriterium für den Konvergenzradius für diese Reihe

betrachte   a_k / a_k+1 =   (1/9) ^k / (1/9) ^k+1  = 9

Also für k gegen unendlich auch Grenzwert 9 = Konvergenzradius.

Also konvergiert die Reihe mit der Substitution jedenfalls 

 für   | u   |  < 9  . Also auch   |  ( z-2i)²  | < 9

also   |  z - 2i    | < 3

Also ist der Konvergenzradius =3 und der Entwicklungspunkt 2i.