Berechnen Sie ein zweigliedriges Näherungspolynom in x für den Ausdruck f(x) = 1/(100 + x^2)

Question

ich brauche eure Hilfe. Kann mir bitte einer folgende Aufgabe vorrechnen?

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Vom Duplikat:

Titel: Zweigliedriges Näherungspolynom für den Ausdruck f(x)=1/(100+x²) mithilfe einer Reihenentwicklung

Stichworte: reihe,entwicklung,funktion,näherung

Hi,

brauche eure Hilfe. Verstehe folgende Aufgabe nicht.
Kann mir das bitte einer mit ausführlichen Zwischenschritten vorrechnen, damit ich sehen kann, was gemacht wurde.

Answer 1

Taylorpolynom vom Grad 2 um Punkt x=0 

p(x) = 1/100 - 1/5000 * x^2

und es ist in der Nähe von 0 immer f(x) ≥ p(x)

Damit ist das Intervall bestimmt durch

f(x) - p(x) ≤ 0,0001 * f(x)

das führt  auf 0,9999 ≤ p(x) / f(x) 

x aus  [ - 0,09999 ; 0,09999 ]

oder mit der Restgliedabschätzung von Lagrange.

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Hi, danke für deine Hilfe. Könntest du noch die Zwischenberechnungen aufschreiben, wie du z.B. darauf kommst? Danke.

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p(x) / f( x) = -x^4 / 5000 - x^2 / 100 + 1 und das gleich 0,9999

und das ist ja eine biquadratische Gleichung.

Substituiere z = x^2 und erhalte z = 0,00998 or z = -50

also x^2 = 0,00998

x= ± 0,999  Das sind die Intervallgrenzen.

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Noch ein Bildchen dazu

~plot~ 1/(100+x^2); 1/100-x^2/5000;[[-0.0999|0.0999|0.00999|0.010011]] ~plot~

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Müsste das Taylorpolynom nicht p(x) = 1/100 - 1/10000*x^{^2} lauten? Man muss die 1/5000 ja auch noch durch 2! teilen, oder habe ich hier einen Denkfehler?

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Ich muss diese Aufgabe auch machen. Ich lade sie mal hoch, damit man sieht was (i) und (ii) ist.

Was ist denn jetzt die Lösung zu der Aufgabe? Es gibt verschiedene Kommentare.

Kann mir das einer mit Lösungswegen für (i) und (ii) getrennt aufschreiben?

Die Aufgabe:

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Ist lange her, aber hat jemand eine Idee? Kann mich jemand aufklären?

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Muss ich zuerst die Funktion f(x) zweimal ableiten?
Kann mir denn vielleicht einer die Schritte aufschreiben, die ich machen muss, um auf die Lösung zu kommen? Dann versuche ich es selber.

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f(x) = 1/100 * 1/(1 + x^2/100)   ist 1% des Wertes der unendlichen geometrischen
Reihe  ∑ [k=0 bis ∞]  q^k   für  q = - x^2/100 

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"Muss ich zuerst die Funktion f(x) zweimal ableiten? "

Das Polynom soll 2 Glieder haben, du brauchst nur einmal abzuleiten.

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Ok ich habe die Funktion abgeleitet und habe folgendes raus:

$$-\dfrac{2x}{\left(x^2+100\right)^2}$$

Was muss ich jetzt tun, um die Aufgabe (i) zu lösen?

Muss bis spätestens ~23:45 Uhr fertig werden. Da ich die Lösung bis 23:59 Uhr uploaden muss.

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Du siehst hier die Funktion und das Näherungspolynom sowohl grafisch wie auch mit Formeln

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... und die Abweichung bezogen auf die Funktion darf höchsten 0.01% betragen:




D.h. (diese Gleichung aufgelöst) Intervall [-1, 1].

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Ist die Aufgabe somit fertig?

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Das denke ich schon, ja.

Der Aufgabensteller hat nicht geschrieben, an welcher Stelle er es haben möchte, aber normalerweise ist es bei x=0.

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Mal aus Interesse: Auf welcher Stufe wird sowas gefragt?

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Ok danke dir. Das ist aus Modul Mathe 3 in unserer Hochschule.

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Hmmm.... "Modul Mathe 3" sagt mir nichts. Was studiert man denn dort und in welchem Semester, damit sowas kommt?

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Technische Informatik im zweiten Semester

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Alles klar, viel Spass noch. Im dritten Semester sollte das dann aber sitzen, mit dem Herrn Taylor :)