1. Differentialquotient von x^4-4=0 (bitte mit Lösungsweg)!

Question

Zu erstellen ist der erste Differentialquotient von x^4-4=0. Meine Lösung lautet y' = -4x. Aber der Weg dorthin war zu einfach und das Ergebnis ist sicher falsch. Ich habe keinen Plan  :-(.

Answer 1

Differenzialquotient

f(x) = x^4 - 4

lim h → 0

(f(x + h) - f(x)) / h

= ((x + h)^4 - 4 - (x^4 - 4)) / h

mal eine Betrachtung
(x + h)^4 = ((x + h)^2)^2 = (x^2 + 2xh + h^2)^2 = x^4 + 4x^3*h + 6x^2*h^2 + 4xh^3 + h^4

= (x^4 + 4·h·x^3 + 6·h^2·x^2 + 4·h^3·x + h^4 - 4 - x^4 + 4) / h

= (4·h·x^3 + 6·h^2·x^2 + 4·h^3·x + h^4) / h

= 4·x^3 + 6·h·x^2 + 4·h^2·x + h^3

lim h → 0

= 4·x^3

Answer 2

Du willst einfach nur die Ableitung berechnen?

f(x)=x^4-4 = x^4-4*x^0  (da x^0=1, neutrales Element der Multiplikation)

Jetzt multiplizierst du jeden Summanden mit dem Exponenten und verringerst danach den Exponenten um 1:

f'(x)=4*x^^4-1-0*4*x^0-1 = 4x^3

Klar?