Abbildung + Kern = Idempotenzkriterium?

Question

Es sei Körper K, K-VR V und K-VR-HOM ε : V→V.

Zeigen Sie, dass wenn ε Idempotent ist (also ε°ε =ε), auch gilt:

V = Im ε ⊕ Ker ε.

Dazu meine Überlegung:

Ich nehme an, dass nur Homomorphismen, welche aus den Elementen 0 und 1 bestehen, Idempotent sein können. Alle anderen Zahlen würden sich doch selbst vervielfältigen, wenn ich komponentenweise multipliziere.

desweiteren darf der Schnitt vom BIld und vom Kern nur das Nullelement enthalten.

Hilft mir das weiter? Ich finde keinen Ansatz

freundlichn grüße

Sina

Answer 1

Das mit den 0en und 1en kannst du vergessen:

Teste mal A =

8     -14
4     -7 

Da ist auch A^2 = A .

Comments

Notation im Original:

Ich nehme an, dass damit das Hadamard-Produkt (https://de.wikipedia.org/wiki/Hadamard-Produkt), also komponentenweise Multiplikation und nicht matrixmultiplikation gemeint ist. (Ich habe unter den Sonderzeichen kein besseres Zeichen als ° gefunden, sorry)

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Vielleicht ist das ein Anfang:   (ich schreib mal f statt eps )
Um  V = Im f ⊕ Ker f zu zeigen, ist ja mal erst zu zeigen, dass jedes v aus V sich als
Summe eines Elementes von  Im f  und eines von Ker f  schreiben läßt.

Sei also v aus V. Und f(v)= w.  Dann ist     f ( v - w )
= f (v) - f(w) = f(v) - f(f(v)) und  wegen Idempot.  
= f(v) - f(v)  = 0    Und damit v-w aus dem Kern.

außerdem  ist v = w + (v-w) also ist jedes v die Summe eines Elementes
aus von  Im f  und eines von Ker f  .

Die Summe ist direkt, da Im f ∩ Ker f  = { 0 }.  Denn ist w aus Im f ∩ Ker f
dann gibt es v aus V mit f(v) = w  (wegen  Im f )
und es ist  f(w) = 0   ( wegen Kern )

Also  0  =   f(w)  = f(f(v)) = f(v)   Idempot!
                                          =  w.
Also 0 = w und damit    Im f ∩ Ker f  = { 0 }

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idempotent heißt bei Abbildungen immer:

Die zweimalige Hintereinanderausführung der Abbildung gibt das gleiche

wie die einmalige, also f(f(x)) = f(x).  Das ist schon korrekt.

Und das entspricht bei Endomorphismen der Multiplikation der

Matrizen.

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Das ist doch mehr als ein Anfang :). Damit hast du doch gezeigt, dass sich jedes v∈V als direkte Summe von Bild und Kern darstellen lässt, unter der Bedingung, dass f Idempotent ist. Weil ich nur eine Richtung zeigen möchte, reicht das doch vollkommen aus oder?

btw:

Diesen Schritt:

Sei also v aus V. Und f(v)= w.  Dann ist     f ( v - w )
= f (v) - f(w) = f(v) - f(f(v)) und  wegen Idempot.  
= f(v) - f(v)  = 0    Und damit v-w aus dem Kern.

werde ich mir merken, den kann ich bestimmt mal woanders gebrauchen.

!