Beweis Untervektorraum mit linearer Abbildung und reellen Zahlen

Question

Gegeben sind eine lineare Abbildung T: ℝⁿ --> ℝⁿ  und eine reelle Zahl k. Zeigen sie: Die Menge U := ( x∈ℝⁿ / T (x) = kx ) ist ein Untervektorraum von ℝ^n.

Comments

U := ( x∈ℝⁿ / T (x) = kx )

1. Fall k ist ein Eigenwert von T ==> U ist der Unterraum der zu k gehörigen Eigenvektoren in R^n.

2. Fall k ist kein Eigenwert von T ==> U enthält nur den Nullvektor und ist damit ebenfalls Untervektorraum von R^n. 

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Fall 2 wohl eher der Nullraum.

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Ja. Danke. Ist oben korrigiert.

Answer 1

U := ( x∈ℝⁿ / T (x) = kx )

Unterraumkriterien:
1.   0 aus U
2. für alle x,y aus U ist auch   x - y aus U.
3. für jedes a aus IR und x aus U ist  a*x aus U

zu 1:  wenn T linear, dann T(0) = 0 = k*0 also 0 aus U
zu 2: Seien x,y aus U,  also  T (x) = kx und T (y) = ky
dann gilt
T(x-y) = T(x) - T(y)    ( da T linear)
          = kx  -  ky    ( da x,y aus U)
         = k(x-y)     ( Distributiv)

also T(x-y)  = k(x-y)  und nach Def. von U also x-y aus U.

zu 3 :  Seien a aus IR und x aus U
             T(ax) = a*T(x)     ( da T linear)
          = a* ( kx )      ( da x aus U)
         =  k * ax        (Rechnen in IR^n  )
also T(ax)  = k(ax)  und nach Def. von U also ax aus U.