Funktion f(x)=x^n . zeigen mit vollständige Induktion dass ableitung von F vor der Form F`(x) = nx^n-1 ist.

Question

Gegeben sei die Funktion F(x)=xⁿ, für n∈ℕ/(0). Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Ableitung von F von der Form F`(x) = nx^n-1 ist. 

Answer 1

Zu zeigen:  für alle  n ∈ ℕ gilt:   f(x) = xⁿ  →  f '(x) = n• x^n-1 

Induktionsbasis:  (n=1):     [ x ] ' = 1 = 1 • x^1-1 ist wahr

Induktionsschritt:

Sei   f(x) = xⁿ⁺¹ , zu zeigen:  f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) = (n+1) • xⁿ

 IV:  f⁽ⁿ⁾ (x) = n• x^n-1 

→   f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) =  [ f⁽ⁿ⁾ (x) ]' = [ x • xⁿ ] ' =_{Produktregel, IV}   x •  n• x^n-1 + 1 • xⁿ = (n+1) • xⁿ

Gruß Wolfgang