Wahrscheinlichkeit Zufallsgröße

Question

In den Schafherden einer Region ist eine neue Infektionskrankheit aufgetreten, die nur durch aufwändige Bluttest nachgewiesen werden kann. Dazu wird allen Schafen eine Bluprobe entnommen. Anschließend werden die Proben von jeweils 50 Schafen gemischt und das Gemisch wird getest. Angenommen in einer Herde von 100 Schafen befinden sich im Mittel ein infiziertes Tier.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine der gemischten Probend er Erreger?

b) Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Gruppen an, in denen bei Untersuchung der Blutgenische der Erreger gefunden wurde. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteiung von X an.

c) Berechnen Sie den Erwartungswert sowie die Standardabweichung der Zufallsgröße X.

Vielleicht kann jemand bei a) und b) helfen.

Answer 1

Hallo 

a)

da der Test Auskunft darüber geben soll, ob die Herde infiziert ist,  macht nur "Erreger enthalten in mindestens einer der beiden gemischten Proben" einen Sinn, was auch der korrekten mathematischen Interpretation entspricht. ( Allerdings wird "eine" in Aufgaben häufig falsch für "genau eine"  gebraucht.)

>  Angenommen in einer Herde von 100 Schafen befindet sich im Mittel ein infiziertes Tier.

Wie Oswald vermute ich, dass man hier unterstellen soll, dass die Wahrscheinlichkeit für "ein zufällig ausgewähltes Schaf ist infiziert"  0,01 sein soll. (Das  wäre allerdings innerhalb einer Herde eine unrealistische Unterstellung, weil die Infiziertheit eines Schafes nicht unabhängig von der Infiziertheit anderer Schafe sein kann)

Davon ausgehend:

 P( "Erreger enthalten in mindestens einer der beiden gemischten Proben" )

 = P("mindestens ein Schaf ist infiziert)  =   1 - P("kein Schaf ist infiziert")

 = 1 - 0,99¹⁰⁰ ≈ 0,63397

b)

Weiter erhalt man dann für jede der beiden 50er-Gruppen P("Erreger wird nicht gefunden" = 0,99⁵⁰ = p bzw. P("Erreger wird gefunden") = 1- p.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

    X_i                    0                     1                  2

P(X=X_i)             p²            2 p ·(1-p)         (1- p)²

Hiermt kann kann dann den Erwartungswert und die Standardabweichung normal ausrechnen.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank

p ist 0,99^50 oder damit arbeite ich in der Tabelle weiter ???

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Vielen Dank nochmal für die Hilfe.

E(X)=0,79

V(X)=0,4779 bzw. 0,48

σ(X)=0,69

Ich muss nun zu jedem (Erwartungswert, Varianz & Standaradabweichung) je ein Satz sagen, was das Ergebnis je bedeutet. Also eine Art Interpretation.

Leider komme ich nicht damit klar.

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Zu E(X)=0,79

Im Durchschnitt befinden sich in den Gruppen, die untersucht werden, sehr wenig ein Erreger.

Zu V(X)=0,779

Es streut nicht all zu stark.

Zu σ(X)=0,69

...

Ich komme damit nicht ganz klar. Vielleicht kann jemand mir weiter helfen.

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Kann jemand mir bitte helfen?

Answer 2

> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine der gemischten Probend er Erreger?

Wenn ich so etwas lese, dann könnte ich schon wieder kotzen. Was ist denn mit "eine Probe" gemeint. Es gibt drei Möglichkeiten:

Genau eine? Dann ist die Wahrscheinlichkeit 100·(1/100)¹·(99/100)⁹⁹.

Mindestens eine? Dann ist die Wahrscheinlichkeit 1 - (99/100)¹⁰⁰.

Eine bestimmte (z.B. die dritte)? Dann ist die Wahrscheinlichkeit 1/100.

> b) Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Gruppen an, in denen bei Untersuchung der Blutgenische der Erreger gefunden wurde.

Um damit etwas anzufangen muss man wissen, wieviele Gruppen untersucht wurden.