Definitionsbereich gebrochen rationale Funktion. WARUM sind Nullstellen außerhalb des Definitionsbereichs?

Question

Ganz simple Frage.

Ich möchte nur verstehen, weshalb die Nullstellen des Nenners einer gebrochen rationalen Funktion nicht definiert sind und aus dem Defintionsbereich ausgeschlossen werden.

Ich kann es mir einfach nicht erklären, möchte es aber auf jeden Fall verstehen.

Vielleicht hat ja jemand eine simple Erklärung.

Answer 1

Die Nullstellen des Nenners sind schon definiert. Du kannst sich wahrscheinlich ausrechnen.

Es geht darum, dass die Funktionswerte an diesen Stellen nicht definiert ist, da die Division durch 0 nicht definiert ist.

Hier einfach Fälle:

~plot~ 1/(x-2); 1/(x+3) ~plot~

Z.B. bei x=-3 ist der Funktionswert der zweiten Funktion nicht definiert. 

Answer 2

Durch Null darf man nicht teilen. Das ist eine von vielen Regeln der Mathematik, die man ja nicht alle bei jeder Anwendung beweist. Hier aber trotzdem ein Beweis. Nehmen wir an, eine Zahl a≠0 ließe sich durch Null teilen. Dann hat diese Division ein Ergebnis b und es gilt a/0 = b. Auf beiden Seiten mit dem Nenner multiplizieren ergibt a = 0·b. Das hieße aber a = 0, was ein Widerspruch zur Annahme ist. Damit ist die Annahme "eine Zahl a≠0 lässt sich durch Null teilen" falsch.