Bestimmen Sie eine Basis B von ℝ3 , sodass MB,C (id) = A gilt.

Question

Sei id:ℝ³ ->ℝ³  die Identität C ={(-2;2;3),(-8;5;2),(-1;0;1)}  und

A= ( 1;2;-1

     -3;-5;0

      4;6;1)
Bestimmen Sie eine Basis B von ℝ³ , sodass M_B,C (id) = A gilt.

Mein Ansatz:

f(v₁) = f(-2;2;3) = ∑(i=1 bis 3) a_i1w_i= a₁₁w₁₊ a₂₁w_{2 +} a₃₁w₃             v₁∈C

analog zu den andern beiden Vektoren

=>

1w₁  - 3w₂ + 4w₃ = (-2;2;3)

2w₁ - 5w₂ + 6w₃ = (-8;5;2)

-w₁             + w₃  = (-1,0;1)

Wie kann ich jetzt die einzelnen Vektoren berechnen (wenn mein Ansatz denn richtig ist). Ich habe versucht sie in ein LGS reinzuschreiben bekomme aber nur krumme Zahlen raus, weshalb ich stark davon ausgehe, dass es wohl falsch ist!

Answer 1

Ich finde deinen Ansatz richtig:

1w₁  - 3w₂ + 4w₃ = (-2;2;3)          I

2w₁ - 5w₂ + 6w₃ = (-8;5;2)          II

-w₁             + w₃  = (-1,0;1)             III

kannst du auch als Gleichungssystem mit Vektoren auffassen.

Dann   gibt   i + III ja     -3w2 + 5w3 = ( -3 ; 2 ; 4 )            IV

und   - 2* I   + II    gibt               w2 - 2w3   = ( -4  ;  1 ;  -4  )     V

und  IV  +   3*V  gibt   -w3 =  ( -15 ; 5 ;  -8 )

also  w3 =  ( 15 ; - 5 ;  8 )   etc.

Answer 2

Ich versuche mal dir zur helfen.

M_B,c (id)=A bedeutet ja soviel, dass du die Basivektoren von B mit der Identität abbildest, dabei kommen ja dann  wieder die Basisvektoren von B heraus (wegen Identität), diese Bilder stellst du dann als Linearkombination der Basisvektoren von C dar und erhäkst somit die Spaltenvektoren von A.

Seien nun also B:= ((a,b,c)(d,e,f)(g,h,i))=(x,y,z) die gesuchte Basis. Dann folgt ja wie eben erwähnt.

(-2,2,3)*x=(1,-3,4)

(-8,5,2)*y=(2,-5,6)

(-1,0,1)*z=(-1,0,1)

 Damit folgt dann bsw. (-2,2,3)*(a,b,c)=(1,-3,4)  damit gilt 2*a=1 , 2*b=-3 , 3*c=4.

Also folgt x=(1/2, -3/2, 4/3)

Analog folgt : y=(-1/4, -1, 3 ) und z=(1,k,1) wobei k beliebig gewählt werden kann.

Ich hoffe ihr habt die Basiswechselmatrizen auch  so erklärt ( LK, Spalten), sonst kann es passieren dass das nicht so stimmt.