Herleitung vom Integral von sec x

Question

Ich würde gerne verstehen, warum das folgende gilt:

$$ \int \sec x ~dx=\ln (\sec x + \tan x)$$

Partiell int. klappt nicht und beim substituieren werde ich nicht alle x los.  

$$ \int \sec x ~dx= \int \frac{1}{\cos x} dx\\u=\cos x~\rightarrow dx=-\frac{du}{\sin x} $$

Kann man mehrfach subistuieren und wenn ja, wie kann ich weiterrechnen? Was gibt es sonst nocht für Methoden

Answer 1

Bei sin  und cos kann man ja oft was mit sin^2 + cos^2 = 1 machen.

also cos^2 = 1 - sin^2 = ( 1-sin) ( 1+sin)

oder cos = ( 1-sin) ( 1+sin) / cos  = (1 - sin ) * ( 1/cos   - tan )

cos / ( 1 - sin ) =  1 / cos - tan

tan + cos / ( 1 - sin ) = 1 / cos 

sin/cos + cos / ( 1 - sin ) = 1 / cos 

So,  jetzt hat man 1/cos dargestellt als Summe zweier Terme,

bei denen (ungefähr) immer der Zähler die Ableitung des Nenners ist,

Damit es genau stimmt ,  also

- sin/cos  +   (-  cos) / ( 1 - sin ) = -1 / cos 

Also ist das Intergal

∫ 1 / cos(x) dx =  - ∫  - 1 / cos(x)  dx

=  -   ∫  (    -  sin(x) / cos(x)  +  ( -  cos(x)) / ( 1 - sin(x)  )      ) dx

= -  ∫  (-  sin(x) / cos(x)  dx   -    ∫  -  cos / ( 1 - sin ) ) dx

=  - (   ln(cos(x)      -   ln( sin(x) - 1 )  )     Da müssen wohl irgendiwe noch Beträge drum !

und   -  ln(cos(x)      +   ln( sin(x) - 1 )   = ln ( ( sin(x) - 1 ) / cos(x)  )

= ln ( sin(x) / cos (x)  -   1 / cos(x) =   ln ( tan(x)  - sec(x) ) 

Oha, stimmt wohl irgendwo ein VZ nicht, aber so in der Art müsste es gehen.

Answer 2

Eine weitere Möglichleit ist die sog. Weierstraßsubstitution:

https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution

Dabei ersetzt Du cos(x) und dx durch die dort angegebenen Ausdrücke.

Dann führst Du eine kleine Partialbruchzerlegung aus , resubstituierst und bist fertig.