Vom Kern einer Darstellungsmatrix zum Kern der Linearen Abbildung

Question

Aufgabe:

3. Aufgabe
Gegeben sei der Vektorraum
$$ W=\left\{\left(\begin{array}{ll} {a} & {b} \\ {b} & {a} \end{array}\right) | a, b \in \mathbb{R}\right\} $$
mit der Basis
$$ \mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll} {2} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} {-2} & {1} \\ {1} & {-2} \end{array}\right)\right\} $$
$$ \begin{array}{l} {\text { Weiterhin sei }} \\ {\qquad L_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {-1} \\ {0} & {0} \end{array}\right)} \end{array} $$
die darstellende Matrix einearen Abbildung \( L: W \rightarrow W \) bzgl. der Basis \( \mathcal{B} \).

(a) Bestimmen Sie den Kern von \( L_{\mathcal{B}} \) und den Kern von \( L \)
(b) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(L)) \)

Ich benötige Hilfe bei a). Den Kern von Lb habe ich bereits errechnet, aber ich weiß nicht wie man auf den Kern von L kommen kann mithilfe des Kernes von Lb. Ich würde mich über Denkansätze freuen.

Answer 1

M aus Kern(L)  ⇔  L(M) = 0

wenn M1 und M2 die Matrizen in der Basis B sind, gilt ja

L(M1) = M1 und L(M2) = - M1

also L(M1 +M2) = 0 also M1 + M2 aus Kern L

Da L nicht die Nullabbildung ist und dim(W) = 2 ist also dim(Kern(L)) = 1

und M1 +M2 =

0  1
1  0    ist eine Basis von Kern (L) , also

dim( Bild (L)) = 1 .

Comments

VIelen Dank für deine Schnelle Antwort. Ich habe alles verstanden was du geschrieben hast, nur weiß ich nicht wie man darauf kommt, dass L(M1)= M1 und L(M2)= -M1 gilt.

Wärst du so nett mir das kurz nochmal zu erklären?

Viel Dank.

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In den Spalten der Matrix L_B stehen die Koeffizienten, die man braucht

um die Bilder der Basisvektoren mit der Basis B darzustellen.

!. Spalte  1  0    also

L ( M1) = 1*M1 + 0* M2

entsprechend

2. Spalte  -1  0

also L ( M2) =   - 1*M1 + 0* M2

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Achso! Jetzt versteh ich das alles. Vielen Dank, dass du mir so weiter geholfen hast.