Wie hoch ist die Menge x2 im Nutzenoptimum?

Question

Aufgabe:

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet \( U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{0.5} x_{2}^{0.75} . \) Gegeben sind die Preise der beiden Güter \( p_{1}=2 \) und \( p_{2}=0.5 \) sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von \( I=650 . \) Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion.

Wie hoch ist die Menge \( x_{2} \) in diesem Nutzenoptimum?

a. \( 1051.26 \)
b. \( 911.28 \)
c. \( 1022.94 \)
d. \( 787.08 \)
e. \( 780.00 \)

Answer 1

x = x1, y = x2, p = p1 = 2, q = p2 = 0.5

 

Nebenbedingung:

2·x + 0.5·y - 650 = 0
y = 1300 - 4·x

 

Lagrange Funktion:

L = x^{0.5}·y^{0.75} - k·(2·x + 0.5·y - 650)

 

L/dx = 0.5x^{-0.5}·y^{0.75} - k·2 = 0   | Nebenbedingung einsetzen und nach k auflösen

0.5·x^{-0.5}·(1300 - 4·x)^{0.75} - k·2 = 0

k = 0.25·x^{-0.5}·(1300 - 4·x)^{0.75} 

 

L/dy = x^{0.5}·0.75·y^{-0.25} - k·0.5 = 0   | NB einsetzen und nach k auflösen

x^{0.5}·0.75·(1300 - 4·x)^{-0.25} - k·0.5 = 0

k = 1.5·x^{0.5}·(1300 - 4·x)^{-0.25} 

 

Gleichsetzungsverfahren anwenden

0.25·x^{-0.5}·(1300 - 4·x)^{0.75} = 1.5·x^{0.5}·(1300 - 4·x)^{-0.25}

0.25·(1300 - 4·x) = 1.5·x

325 - x = 1.5·x

x = 130

y = 1300 - 4·130 = 780

 

Antwort e mit 780 ME ist hier korrekt.

Comments

Darf ich noch nachfragen, wie du auf y = 1300 - 4·x kommst?

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Versuch mal 

2·x + 0.5·y - 650 = 0

nach y aufzulösen. Dann solltest du auch darauf kommen. Wenn nicht ... hmmm

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wie sind sie ganz unten auf die 130 gekommen

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325 - x = 1.5·x nach x auflösen.