Bakterien und wärme Im Temperaturfeld

Question

Hallo die Aufgabe ist folgende :

bei a ) die eine Bedingung ist doch der Gradient , der zeigt in die Richtung des Stärksten Anstieges . Für T ist der dann ( -2x,2y) , aber wie kommt man da auf so eine Parameterdarstellung ? bzw. wie baue ich die Bedingung ein .

b ) weiß ich leider nicht .

und c) Isotherem habe ich nachgelesen , das Sind linien wo die Temperatur konstant ist , jedoch was sagt mir das zu dem Beispiel ? Muss ich den Gradient nochmal ableiten sodass keine variablen mehr vorkommen?

Danke für Hilfen !

Answer 1

a)

T(x,y)=20-x^2+y^2

Tangentenvektor soll parallel zum stärksten Anstieg der Temperatur sein:

dX(t)/dt=grad(T)=(-2x(t),2y(t))

--> dx(t)/dt=-2x(t) ;dy(t)/dt=2y(t)

--> x(t)=c₁*e^{-2t} ; y(t)=c₂*e^{2t}

mit Anfangsbedingung X(0)=(x₀,y₀)

folgt x(t)=x₀*e^{-2t} ; y(t)=x₀*e^{2t}

b) x(t)*y(t)=x_0*y₀*e^{-2t}*e^{2t}=x_0*y₀

--> y=x_0*y₀/x

c) Bei einer Isotherme ist die Temperatur konstant.

c=T(x,y)=20-x^2+y^2

c-20+x^2=y^2

C+x^2=y^2

Bei den Isothermen handelt es sich um Hyperbeln.

Der Gradient steht senkrecht auf den Isothermen. Somit verläuft die Bewegung der Bakterien senkrecht zu den Isothermen.

Comments

kleiner Fehler am Ende von a) :

mit Anfangsbedingung X(0)=(x₀,y₀)

folgt x(t)=x₀*e^-2t ; y(t)=y₀*e^2t