E-Funktion mit E. Coli, Wachstum von Bakterien!

Question

Aufgabe: E. coli, E-Funktion, Textaufgabe

Das Darmbakterium E. coli ist unter günstigen Voraussetzungen in der Lage, sich alle 20 Minuten zu teilen. Die Vermehrung in einer frischen Nährlösung setzt aber erst nach einer gewissen Eingewöhnungszeit ein. Eine Nährlösung wird mit einer Kolonie von 10^6 Bakterien pro ml infiziert.

a) Begründen Sie, dass das Wachstum der Bakterien durch eine Funktion f mit f(t) = a·e^{k·t} beschrieben werden kann, wobei f(t) die Anzahl der Bakterien in Millionen nach t Minuten angibt.

b) Bestimmen Sie rechnerisch die Werte für a und k.

c) Berechnen Sie, um wie viele Prozent sich die Anzahl der Bakterien pro Minute ändert.

d) Berechnen Sie f'(2) und interpretieren Sie das Ergebnis mit Blick auf die gegebene Situation.

e) Berechnen Sie, wann sich die Anzahl der Bakterien auf 10^10 erhöht hat, die dann als Kolonie von 3 Millimeter Durchmesser auf dem Nährboden zu sehen ist.

f) Zeichnen Sie die Graphen von f(t) und f'(t) und vergleichen Sie beide mit Blick auf die gegebene Situation.

Problem/Ansatz:

ich weiß nicht, wo ich anfangen soll. Kann mir bitte jemand. Alles ausführlich erklären bitte? Ich verstehe wirklich nichts und habe 1 Tag Zeit bis zur Abgabe der Aufgaben. Ich danke euch allen im Voraus.

ich weiß zwar wie man ableitet, aber allgemein, wie soll ich interpretieren, bei d)??anscheind soll ich das ausführlich interpretieren können!!

Bei e) weiß ich nicht wie man das macht, da hab ich keine Ahnung, bitte hilft mir.

Und bei f) brauch ich beim vergleich dringen Hilfe, wie soll man beides vergleichen. Kann mir da jemand die Aufgabe bize lösen?? Danke im Voraus ✨

Comments

https://www.mathelounge.de/1081248/bakterium-e-coli-wachstumsprozess

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Du hast aber schon gesehen, dass die andere Frage schon entsprechend als Duplikat gemeldet wurde, oder?

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ja, könntets du mal schauen, ob mein ergebnis für a) so richtig ist, und für die Interpretation in d) habe ich folgendes geschrieben:

Das Ergebnis von f′(2)f'(2)f′(2) zeigt, dass die Anzahl der Bakterien bereits nach 2 Minuten um etwa 37105 Bakterien pro Milliliter und Minute zunimmt. Dies deutet auf eine sehr schnelle Vermehrung der E. coli-Bakterien hin, da die Bedingungen in der Nährlösung ideal sind.
Man könnte behaupten, dass diese günstigen Bedingungen eine exponentielle Zunahme der Bakterienpopulation begünstigen. Die schnelle Zunahme nach 2 Minuten zeigt, dass die Kolonie in einer Phase intensiven Wachstums ist. Wenn die begünstigten Bedingungen wie Temperatur und ph Wert etc. konstant bleiben, wird die Bakterienpopulation nach der Wachstumsfunktion in den nächsten Minuten weiterhin rasant ansteigen.

Answer 1

ich weiß nicht, wo ich anfangen soll.

Am besten natürlich mit Aufgabe a). Woran erkennt man ein Exponentielles Wachstum. Vielleicht kannst du dabei auch nochmals Merkmale anderer Wachstumsarten auffrischen.

Begründe also das die Bedingung "Das Darmbakterium E. coli ist unter günstigen Voraussetzungen in der Lage, sich alle 20 Minuten zu teilen." genau die Bedingung für ein exponentielles Wachstum erfüllt.

Bei b) könntest du die Funktion in der Form

f(t) = a·2^{b·t}

aufstellen und dann über einen Basiswechsel in die e-Funktion umschreiben. Du kannst das aber auch wie eine reine Steckbriefaufgabe lösen, welche die Bedingungen

f(0) = 1
f(20) = 2

erfüllen muss.

Bei c) kannst du letztendlich für t einfach 1 Minute einsetzen und damit berechnen, um wie viel Prozent sich Bakterien vermehren.

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https://www.mathelounge.de/48440

Comments

Ich habe bei c= 3,53% raus. Stimmt das so?

Habe einfach e^0,03465 genommen, was 1,0353 macht. Dann habe ich(1,0353-1) x100 gemacht und habe =3,53% raus.

Hab geschrieben dass k der relative Wachstumsfaktor ist. Deshalb. Bitte ichbin mir sooooooo unsicher man.

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Ja. Pro Minute wächst die Anzahl der Bakterien um ca, 3.53%. Gut gemacht.

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hallo nochmal, denkst du diese antwort reicht für a)???

Ergebnis:

Nun, in diesem Beispiel kann das Wachstum der E. coli Bakterien mit der Funktion f(t)=a⋅ek⋅t beschrieben werden. Diese spezielle Funktion nutzt die Eulersche Zahl eee, die für exponentielles Wachstum steht. Sie ist besonders geeignet, da die Zunahme der Bakterien immer proportional zum bereits vorhandenen Bestand erfolgt. Das bedeutet, dass zu jedem Zeitpunkt der gleiche prozentuale Anteil zur bestehenden Bakterienmenge hinzukommt.
Die Funktion f(t) zeigt charakteristische Merkmale eines exponentiellen Wachstums. Zum einen startet sie bei t=0 mit 10610^6106 Bakterien pro ml Nährlösung, was als Anfangsbedingung f(0)=a festgelegt ist. Zum anderen beschreibt der Parameter k in ek⋅t die konstante Wachstumsrate der Bakterien, die bei E. coli bedeutet, dass sich die Anzahl alle 20 Minuten verdoppelt.
Vor dem exponentiellen Wachstum benötigen die Bakterien eine Eingewöhnungszeit in der neuen Umgebung, was ebenfalls durch diese Funktion berücksichtigt wird. Die exponential Funktion kann auch verwendet werden, um langfristige Trends im Bakterienwachstum vorherzusagen

soll ich noch was ändern?? Mfg