Extremwertaufgabe mit Vektoren und Winkel

Question

Ein Körper befindet sich im Punkt A(0;12) und soll sich geradlinig zum Punkt B(x;0) und dann die x-Achse entlang zum Punkt C(20;0) bewegen. Die x-Achse entlang benötigt er pro Längeneinheit vier Sekunden, im 1. Quadranten und auf der y-Achse fünf Sekunden. Wo ist der Punkt B festzulegen und welchen Winkel muss die Strecke AB mit der y-Achse einschließen, wenn für die Wanderung ABC möglichst wenig Zeit aufgewendet werden soll?

Answer 1

Ein Körper befindet sich im Punkt A(0;12) und soll sich geradlinig zum Punkt B(x;0) und dann die x-Achse entlang zum Punkt C(20;0) bewegen. Die x-Achse entlang benötigt er pro Längeneinheit vier Sekunden, im 1. Quadranten und auf der y-Achse fünf Sekunden. Wo ist der Punkt B festzulegen und welchen Winkel muss die Strecke AB mit der y-Achse einschließen, wenn für die Wanderung ABC möglichst wenig Zeit aufgewendet werden soll?

T = √(x^2 + 12^2)·5 + (20 - x)·4

T' = (5·x - 4·√(x^2 + 144)) / √(x^2 + 144) = 0 --> x = 16 

Die Punkt B liegt bei B(16 | 0)

Schaffst du den Rest dann alleine? Wenn noch Fragen sind dann frag ruhig nach.

Answer 2

Sei t₁ die Zeit für den Weg im ersten Quadranten und t₂ die Zeit für den Weg auf der x-Achse. Der Weg im 1.Quadranten hat die Länge √(x²+144). der Weg auf der x-Achse hat die Länge 20 - x. Dann ist t₁ = 5·√(x²+144) und t₂ = 4·(20 - x) Zielfunktion ist f(x) = 5·√(x²+144) + 4·(20 - x). Jetzt das übliche Programm.

Comments

Schaffst du den Rest    bzw.   Jetzt das übliche Programm

suggeriert, dass die Reihenfolge "erst x, dann α" naheliegend oder einfach sei.

Tatsächlich ist das Gegenteil der Fall, da der gesuchte Winkel nur von den Geschwindigkeiten aber nicht von den Strecken abhängt :  sin α  =  4/5  liefert anschließend problemlos  über tan α  =  x/12  den gesuchten Punkt B. Der x-Wert von C spielt für die ganze Aufgabe überhaupt keine Rolle.