Steckbriefaufgabe, Extremwertaufgabe und Vektorrechnung

Question

Hallo, ich schreibe in einer Woche eine Mathe klausur über die Themen:

- Steckbriefaufgaben

- extremwertaufgaben

- vektorrechnung

Könnte mir vielleicht jemand diese Themen allgemein erklären, sodass ich mindestens weiß wie ich einen Ansatz finde und ich die Aufgaben lösen kann. Besonders Schwierigkeiten habe ich bei Steckbriefaufgaben.

Hier eine Aufgabe:

Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph in S(1/0) die x- Achse berührt und in W(0/-1) einen Wendepunkt hat.

Comments

diese Themen allgemein erklären

Ich halte es für illusorisch, Dir hier und eine Woche vor Prüfung z.B. "die Vektorrechnung" allgemein erklären zu wollen. Dazu gibt es Bücher, die auf jeder Stufe wieder andere Inhalte haben.

Die konkrete Frage, zur Steckbriefaufgabe, hat Dir Silvia ja beantwortet.

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Mit der Vektorrechnung haben wir erst angefangen und dort brauche ich auch nur die Grundlagen die man Anfangs lernt.

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die man Anfangs lernt

Und woher sollte die Welt wissen, was Du anfangs gelernt hast bzw. gelernt haben solltest und vor allem, was davon Dir unklar ist? Konkrete Fragen wären sinnvoller.

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Was genau ist dein Problem bei diesen Aufgaben?

berühren bedeutet, dass

a) die Funktionswerte an der Berührstelle übereinstimmen

b) die 1. Ableitung der Graphen, die sich berühren, übereinstimmt

Die x-Achse, f(x)=y= 0, hat die Ableitung Null.

Damit haben viele Probleme.

Der Rest sollte klar sein, wenn man die entsprechenden Definitionen kennt.

Silvia hat alles sehr schön dargestellt.

Es sind Schema-F-Aufgaben, die manchmal kleine "Gemeinheiten" enthalten,

die Mathelehrer:innen gerne einbauen um Fallen zu stellen bzw. damit es nicht

zu banal ist.

Sie nennen das dann Transfer-Leistung oder Konzentrationsübung.

Schüler:innen nennen es Notenbremse oder "Spreu vom Weizen trennen".

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Danke! Könnte man das Thema auch allgemein zusammenfassen, sodass ich dann weiß was ich bei der jeweiligen Aufgabe zutun habe?

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Hast du dir mal den "Übersetzer" für Steckbriefaufgaben angesehen, zu dem ich dir den Link geschickt habe?

https://www.mathematik-oberstufe.de/analysis/s/steckbrief-uebersetzung.html

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Danke für den Tipp!

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Das Problem ist, dass es viele Variationsmöglichkeiten bei solchen Aufgaben gibt

und die unterschiedlichsten Formulierungen. Man muss genau lesen, was in der

Prüfungssituation oft nicht einfach ist, wenn man unter Zeitdruck steht oder

man nervös geworden ist, weil es irgendwie ingesamt nicht läuft.

Viel Übung macht auch hier den Meister und man gewöhnt sich an

bestimmte Ausdrücke und deren Bedeutung.

Manchmal muss man zwischen den Zeilen lesen. :)

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Hast du vielleicht Tipps wie man das vermeiden kann?

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Mehr als genau lesen und in Ruhe nachdenken kann man da nicht.

Nach der 10. Übungsaufgabe läufts sicher besser. :)

Answer 1

Hallo,

hier findest du einen "Übersetzer" für Steckbriefaufgaben. Es gibt sicherlich auch noch andere Seiten, die evtl. mehr Erläuterungen liefern.

Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph in S(1/0) die x- Achse berührt und in W(0/-1) einen Wendepunkt hat.

Eine Funktion 3. Grades und die ersten beiden Ableitungen kannst du so schreiben:

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)=6ax +2b\)

Du brauchst 4 Gleichungen, um a, b, c und d zu bestimmen.

Aus der Information "deren Graph in S(1/0) die x- Achse berührt" folgt

\(f(1)=0\Rightarrow a+b+c+d=0\\ f'(x)=0\Rightarrow 3a+2b+c=0\)

"W(0/-1) einen Wendepunkt hat." liefert

\(f(0)=-1\Rightarrow d=-1\\ f''(0)=0\Rightarrow b=0\)

Damit weißt du \(f(x)=ax^3+cx-1\)

Und die ersten beiden Gleichungen sind nun

\(a+c-1=0\\ 3a+c=0\)

Die Lösung dieses Gleichungsstems ist a = -0,5 und c = 1,5

\(f(x)=-0,5x^3+1,5x-1\)

Melde dich, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Könntest du noch einmal näher erläutern, wie du auf die Lösungen gekommen bist?

Danke im Voraus

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Welchen Schritt hast du nicht verstanden?

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Ab hier :

„Und die ersten beiden Gleichungen sind nun

a+c-1=0

3a+c=0

Die Lösung dieses Gleichungsstems ist a = -0,5 und c = 1,5“

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\(a+c-1=0\Rightarrow a = 1-c\\ \text{in die 2. Gleichung eingesetzt ergibt}\\ 3\cdot(1-c)+c=0\\ 3-3c+c=0\\ 3-2c=0\\ 3=2c\\ \frac{3}{2}=1,5=c\\ \text{Ergebnis in die 1. Gleichung einsetzen}\\ a=1-1,5=-0,5\)

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Und wie weiß man am Anfang ob man die Ableitung nimmt oder die normalfunktion? Also da wo man die Punkte aus der Aufgabe einsetzt.

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Wenn die Koordinaten von Punkten gegeben sind, wie hier S(1|0) und W(0|-1), setzt man sie in f(x) ein. Bei Extrempunkten ist die notwendige Bedingung f'(x) = 0 und bei Wendepunkten f''(x) = 0.

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Vielen Dank! Das hat mich echt weitergeholfen

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Hallo sylvia,

Ich habe noch eine Frage ab hier:

Aus der Information "deren Graph in S(1/0) die x- Achse berührt" folgt

f(1)=0 -> a+b+c+d=0

f'(x)=0 -> 3a+2b+c=0

" W(0/-1) einen Wendepunkt hat." liefert f(0)=-1 -> d=-1

f''(0)=0 -> b=0

Wie genau kommt man darauf, also wie weiß man, ob man die die Ableitung oder Normalfunktion nimmt und wie kommt man zb. Auf a+b+c+d=0 etc.

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deren Graph in S(1/0) die x- Achse berührt

Du hast die Koordinaten eines Punktes gegeben.

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

f(x) ist die y-Koordinate

Wenn du die Koordinaten in die Ausgangsgleichung, oder Normalgleichung, wie du sie nennst, einsetzt, erhältst du:

\(0=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d\\ 0=a+b+c+d\)

Wenn ein Graph die x-Achse berührt, liegt dort ein Extrempunkt vor. Notwendige Bedingung für Extrempunkte: f'(x) = 0

\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f'(1)=3a\cdot 1^2+2b\cdot 1+c=3a+2b+c\\\\ f'(1)=0\Rightarrow 3a+2b+c = 0 \)

Wenn du das verstanden hast, sollten auch deine anderen Fragen beantwortet sein.

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Vielen dank!

Answer 2

Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph in(1|0) die x- Achse berührt und in W(0|-1) einen Wendepunkt hat.

Berechnung über die Nullstellenform der kubischen Parabel:

N(1|0) ist wegen Berührung der x-Achse eine doppelte Nullstelle:
f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)

W(0|-1) liegt auf der Parabel:

f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=-a*N

-a*N=-1   →   a=\( \frac{1}{N} \)

Eigenschaft als Wendepunkt:

f(x)=\( \frac{1}{N} \)*[(x-1)^2*(x-N)]

f´(x)=\( \frac{1}{N} \)*[2*(x-1)*(x-N)+(x-1)^2*1]=\( \frac{1}{N} \)*[2*x^2-2N*x-2x+2+x^2-2x+1]=

=\( \frac{1}{N} \)*[3*x^2-2N*x-4x+3]

f´´(x)=\( \frac{1}{N} \)*[6x-2N-4]

f´´(0)=\( \frac{1}{N} \)*[6*0-2N-4]=-\( \frac{1}{N} \)*[2N+4]

-\( \frac{1}{N} \)*[2N+4]=0 → N=-2    →   a=\( \frac{1}{-2} \)=-\( \frac{1}{2} \)

f(x)=-\( \frac{1}{2} \)*(x-1)^2*(x+2)