Zweite Ableitung der logistischen Wachstumsfunktion

Question

Aufgabe: Die zweite Ableitung einer logistischen Wachstumsfunktion herleiten.

Problem/Ansatz:

f(t)= 3500/(1+16,5×e^-0,2t)

f'(t)= 115500×e^-0,2t/(1+16,5×e^-0,2t)²

^{Die erste Ableitung habe ich ohne Probleme hinbekommen und die Kettenregel & Quotientenregel u/v = (u'×v-u×v')/v^2 sind mir auch bekannt.}    

^{u(t)=115500×e^(-0,2t)    u'(t)= -23100×e^(-0,2t)                     v(t)= (1+16,5×e^(-0,2t))^2                                                          v'(t)= 2×(1+16,5×e^(-0,2t))× ((- 33/10)×e^(-0,2t))}

^{Ich habe den ersten Schritt nach der Formel gebildet, allerdings weiß ich nicht, wie ich das weiter zusammenfassen muss, um auf die gegebene Ableitung zu kommen:}

^{f''(t)= 23100×e^(-0,2t)×(16,5×e^(-0,2t)-1)/(1+16,5×e^(-0,2t))}

Ich hoffe jemand kann mir helfen, schon mal Danke im voraus.

Comments

mit Rechenweg:

https://www.ableitungsrechner.net/

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Diese Idee hatte ich auch schon, allerdings fasst dieser Rechner das ganz anders zusammen und die Rechnung kann ich überhaupt nicht nachvollziehen. In der Schule haben wir das nicht so gemacht, also hilft es mir leider nicht.

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Was hast du denn mit der zweiten Ableitung so vor? Wenn du lediglich die Wendestelle berechnen willst, ist es einfacher, die Differentialgleichung, deren Lösung \(f\) ja ist, selbst abzuleiten: $$ \begin{aligned} f^{\prime}(t) &=k \cdot f(t) \cdot(G-f(t)) \\ f^{\prime \prime}(t) &= (\dots) = k \cdot f^{\prime}(t) \cdot(G-2 \cdot f(t)) \end{aligned} $$Näheres dazu gibt es hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion#Berechnung_des_Wendepunkts

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Die Aufgabe ist aus einer Abituraufgabe in Hessen im Leistungskurs. Und tatsächlich ist die Aufgabe die oben gegebene zweite Ableitung herzuleiten und zu zeigen, wie man drauf kommt. Am Ende soll diese Ableitung genauso da stehen. Mehr beinhaltet die Aufgabe tatsächlich nicht. Aber trotzdem Danke für Ihre Hilfe und Bemühungen.

Answer 1

v(t)= (1+16,5 * e^(-0,2t)) ^2                                                       
( term ^2 ) ´ = 2 * term * term ´

term = 1+16,5 * e^(-0,2t)
term ´= 16.5 * e^(-0.2t ) * (-0.2 )

v ´(t) = 2 * (1+16,5 * e^(-0,2t))  * 16.5 * e^(-0.2t ) * (-0.2 )

v ´( t )= (1+16,5 * e^(-0,2t))  * 2 * 16.5 * (-0.2 ) * e^( -0.2t)

v ´( t )= (1+16,5 * e^(-0,2t))  * - 6.6 * e^( -0.2t)

( u / v ) ´ =

Meint mein Matheprogramm.

Comments

Dies ist eher eine Aufgabe unter Nutzung eines GTR / CAS