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Eine Volkswirtschaft bestehe aus den drei Sektoren Ackerbau, Industrie und Viehzucht. Der Ackerbau produziert
Weizen, die Viehzucht produziert Schweine und die Industrie produziert Eisen. Die drei Sektoren beliefern einander
und halten dadurch die Produktion aufrecht. Außerdem beliefern sie den Endverbrauch.

Im Einzelnen gilt:

1. Der Ackerbau produziert \( 600 q \) Weizen und benötigt dafür \( 50 q \) Weizen, \( 20 t \) Eisen und 80 Schweine.

2. Die Industrie produziert \( 890 t \) Eisen und benötigt dafür \( 40 q \) Weizen, \( 140 t \) Eisen und 30 Schweine.

3. Die Viehzucht produziert 780 Schweine und benötigt dafür \( 110 q \) Weizen, \( 180 t \) Eisen und 120 Schweine.

Die restlichen Güter sind für den Endverbrauch bestimmt.

Es sollen die Lieferungen der Industrie an den Endverbrauch verdoppelt werden.

Es sollen die Lieferungen der Landwirtschaft (Ackerbau und Viehzucht) an den Endverbrauch halbiert werden.

Wie viel Weizen wird nach der Anpassung produziert?

Hinweis: Sie benötigen eine der beiden folgenden inversen Matrizen:

\( \begin{array}{l} (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}=\left(\begin{array}{rrr} 0.9167 & -0.0667 & -0.1833 \\ -0.0225 & 0.8427 & -0.2022 \\ -0.1026 & -0.0385 & 0.8462 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{lll} 1.1233 & 0.1011 & 0.2675 \\ 0.0634 & 1.2055 & 0.3018 \\ 0.1391 & 0.0671 & 1.2279 \end{array}\right) \\ (\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}=\left(\begin{array}{rrr} 0.9167 & -0.0449 & -0.1410 \\ -0.0333 & 0.8427 & -0.2308 \\ -0.1333 & -0.0337 & 0.8462 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{lll} 1.1233 & 0.0681 & 0.2057 \\ 0.0939 & 1.2054 & 0.3444 \\ 0.1807 & 0.0587 & 1.2279 \end{array}\right) \end{array} \)

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Vom Duplikat:

Titel: Wie viel Weizen wird nach der Anpassung produziert?

Stichworte: inverse,matrix,weizen,produktion,anpassung

matrizen.pdf (94 kb)

Ich habe keine Ahnung wie ich hier rechnen soll

Wie viel Weizen wird nach der Anpassung produziert?

2 Antworten

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Zuerst solltest du dir das Video anschauen und auch versuchen zu verstehen.

 

Erst danach schaust du dir meine Lösung an und versuchst sie dann auch zu verstehen.

 

 

Nach der Anpassung werden also noch 356q Weizen produziert.

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Die Aufgabe ist eine Beispielanwendung zum Leontief-Modell, welches im Detail zum Beispiel in
"http://www.muehe.muc.kobis.de/bosintra/Intranet_Mathematik/Klasse_13/Arbeitsblaetter/leontief/tabelle/tabelle.html"
beschrieben wird.

Es stehe A für den Sektor Ackerbau, I für Industrie und V für Viehzucht. Sei weiter Y der Endverbrauch und X die Gesamtproduktion. Die dazu angegebenen Daten lassen sich in einer Tabelle darstellen:

\( \begin{array}{cccccc} & A & I & V & Y & X \\ A & 50 & 40 & 110 & 600-(50+40+110) & 600 \\ I & 20 & 140 & 180 & 890-(20+140+180) & 890 \\ V & 80 & 30 & 120 & 780-(80+30+120) & 780\end{array} \)

Dies geschieht spaltenweise, beginnend mit der Spalte A, die den Bedarf des Sektors A an den Produkten aller Sektoren zur Erzeugung von 600c Weizen wiedergibt. Entsprechend werden die Spalten I und V befüllt. Weiter wird der Endverbrauch Y wie angegeben berechnet. Die Summe der ersten vier Einträge einer Zeile beschreibt so die Gesamtproduktion des entsprechenden Sektors; diese war bereits gegeben und wird in der Spalte X eingetragen.

Die Tabelle wird weiterentwickelt. Dazu werden die Einträge in Spalte Y ausgerechnet. Der Bedarf des Sektors A, also die Spalte A, wird durch die Gesamtproduktion des Sektors A, hier 600, geteilt. Dadurch wird der Bedarf auf eine zu produzierende Einheit heruntergerechnet. Entsprechend wird mit den Spalten I und V verfahren. Dies ergibt:

\( \begin{array}{cccccc} & A & I & V & Y & X \\ A & 50 / 600 & 40 / 890 & 110 / 780 & 400 & 600 \\ I & 20 / 600 & 140 / 890 & 180 / 780 & 550 & 890 \\ V & 80 / 600 & 30 / 890 & 120 / 780 & 550 & 780\end{array} \)

Um damit nun bequem rechnen zu können, werden die Einträge der ersten drei Spalten zur Technologiematrix A (nicht zu verwechseln mit dem Sektor A), die Einträge der Spalte Y zum Endverbrauchsvektor y und die Daten der Spalte X zum Gesamtproduktionsvektor x gemacht. Auf diese Weise beschreibt nun A*x den internen Bedarf der Volkswirtschaft und für die Gesamtproduktion gilt die Gleichung (1), die unter Verwendung der Einheitsmatrix E nach y (2) bzw. nach x (3) umgestellt werden kann:

(1) A*x + y = x     (2) y = (E-A)*x     (3) x = (E-A)^{-1}*y

Die beteiligten Matrizen und Vektoren sind:

\( A=\left(\begin{array}{lll}50 / 600 & 40 / 890 & 110 / 780 \\ 20 / 600 & 140 / 890 & 180 / 780 \\ 80 / 600 & 30 / 890 & 120 / 780\end{array}\right), \quad y=\left(\begin{array}{r}400 \\ 550 \\ 550\end{array}\right), \quad x=\left(\begin{array}{l}600 \\ 890 \\ 780\end{array}\right) \),
\( E-A=\left(\begin{array}{cc}550 / 600 & -40 / 890 & -110 / 780 \\ -20 / 600 & 750 / 890 & -180 / 780 \\ -80 / 600 & -30 / 890 & 660 / 780\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}11 / 12 & -4 / 89 & -11 / 78 \\ -1 / 30 & 75 / 89 & -3 / 13 \\ -2 / 15  & -3 / 89 & 11 / 13\end{array}\right) \)
und \( (E-A)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}11 / 12 & -4 / 89 & -11 / 78 \\ -1 / 30 & 75 / 89 & -3 / 13 \\ -2 / 15 & -3 / 89 & 11 / 13\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{9792}{8717} & \frac{594}{8717} & \frac{78}{379} \\ \frac{178}{1895} & \frac{6853}{5685} & \frac{1958}{5685} \\ \frac{7878}{43585} & \frac{2561}{43585} & \frac{2327}{1895}\end{array}\right) \)

Soweit die Vorbereitungen, nun zur eigentlichen Aufgabe:

"Es sollen die Lieferungen der Industrie an den Endverbrauch verdoppelt werden. Es sollen die Lieferungen der Landwirtschaft (Ackerbau und Viehzucht) an den Endverbrauch halbiertwerden. Wie viel Weizen wird nach der Anpassung produziert?"

Der Endverbrauch y hat sich also verändert, dies hat Auswirkungen auf die Produktion x, die hier gesucht ist und nach Gleichung (3) berechnet werden kann:

\( x=(E-A)^{-1} \cdot y \)
\( \left(\begin{array}{c}\text { Weizen } \\ \text { Eisen } \\ \text { Schweine }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{9792}{8717} & \frac{594}{8717} & \frac{78}{379} \\ \frac{178}{1895} & \frac{6853}{5685} & \frac{1958}{5685} \\ \frac{7878}{43585} & \frac{2561}{43585} & \frac{2327}{1895}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}200 \\ 1100 \\ 275\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}356.22 \\ 1439.5 \\ 438.48\end{array}\right) \)

Nach der Anpassung werden also 356.22c Weizen produziert.

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Die Aufgabe scheint einem automatisch generierten Online-Test zu entstammen. Weiß jemand von Euch, aus welchem? Ich möchte hier noch ergänzen, wie man vorgehen kann, wenn man im Prinzip weiß, worum es inhaltlich geht, aber nur wenig Zeit und keinen Computer zur Verfügung hat und nur die Frage beantworten möchte:

Zunächst suche ich eine leicht zu berechnende Komponente von E−A so, dass sich die beiden Vorgabematrizen darin unterscheiden, und rechne die aus. Ich wähle

(E−A)(2,1) = −20/600 = -1/30 ≈ −0.0333

Offenbar ist die zweite der vorgegebenen Matrizen die richtige. Nun berechne ich das Skalarprodukt aus der Ackerbauzeile (erste Zeile) der Inversen der zweiten Matrix und dem neuen Verbrauchsvektor:

(1.1233 0.0681 0.2057) * (200 1100 275)
= 1.1233 * 200 + 0.0681 * 1100 + 0.2057 * 275
= 356.1375

Diese Rechnung lässt sich in wenigen Minuten auch mit Papier und Bleistift durchführen.

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