Die Aufgabe ist eine Beispielanwendung zum Leontief-Modell, welches im Detail zum Beispiel in
"http://www.muehe.muc.kobis.de/bosintra/Intranet_Mathematik/Klasse_13/Arbeitsblaetter/leontief/tabelle/tabelle.html"
beschrieben wird.
Es stehe A für den Sektor Ackerbau, I für Industrie und V für Viehzucht. Sei weiter Y der Endverbrauch und X die Gesamtproduktion. Die dazu angegebenen Daten lassen sich in einer Tabelle darstellen:
\( \begin{array}{cccccc} & A & I & V & Y & X \\ A & 50 & 40 & 110 & 600-(50+40+110) & 600 \\ I & 20 & 140 & 180 & 890-(20+140+180) & 890 \\ V & 80 & 30 & 120 & 780-(80+30+120) & 780\end{array} \)
Dies geschieht spaltenweise, beginnend mit der Spalte A, die den Bedarf des Sektors A an den Produkten aller Sektoren zur Erzeugung von 600c Weizen wiedergibt. Entsprechend werden die Spalten I und V befüllt. Weiter wird der Endverbrauch Y wie angegeben berechnet. Die Summe der ersten vier Einträge einer Zeile beschreibt so die Gesamtproduktion des entsprechenden Sektors; diese war bereits gegeben und wird in der Spalte X eingetragen.
Die Tabelle wird weiterentwickelt. Dazu werden die Einträge in Spalte Y ausgerechnet. Der Bedarf des Sektors A, also die Spalte A, wird durch die Gesamtproduktion des Sektors A, hier 600, geteilt. Dadurch wird der Bedarf auf eine zu produzierende Einheit heruntergerechnet. Entsprechend wird mit den Spalten I und V verfahren. Dies ergibt:
\( \begin{array}{cccccc} & A & I & V & Y & X \\ A & 50 / 600 & 40 / 890 & 110 / 780 & 400 & 600 \\ I & 20 / 600 & 140 / 890 & 180 / 780 & 550 & 890 \\ V & 80 / 600 & 30 / 890 & 120 / 780 & 550 & 780\end{array} \)
Um damit nun bequem rechnen zu können, werden die Einträge der ersten drei Spalten zur Technologiematrix A (nicht zu verwechseln mit dem Sektor A), die Einträge der Spalte Y zum Endverbrauchsvektor y und die Daten der Spalte X zum Gesamtproduktionsvektor x gemacht. Auf diese Weise beschreibt nun A*x den internen Bedarf der Volkswirtschaft und für die Gesamtproduktion gilt die Gleichung (1), die unter Verwendung der Einheitsmatrix E nach y (2) bzw. nach x (3) umgestellt werden kann:
(1) A*x + y = x (2) y = (E-A)*x (3) x = (E-A)^{-1}*y
Die beteiligten Matrizen und Vektoren sind:
\( A=\left(\begin{array}{lll}50 / 600 & 40 / 890 & 110 / 780 \\ 20 / 600 & 140 / 890 & 180 / 780 \\ 80 / 600 & 30 / 890 & 120 / 780\end{array}\right), \quad y=\left(\begin{array}{r}400 \\ 550 \\ 550\end{array}\right), \quad x=\left(\begin{array}{l}600 \\ 890 \\ 780\end{array}\right) \),
\( E-A=\left(\begin{array}{cc}550 / 600 & -40 / 890 & -110 / 780 \\ -20 / 600 & 750 / 890 & -180 / 780 \\ -80 / 600 & -30 / 890 & 660 / 780\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}11 / 12 & -4 / 89 & -11 / 78 \\ -1 / 30 & 75 / 89 & -3 / 13 \\ -2 / 15 & -3 / 89 & 11 / 13\end{array}\right) \)
und \( (E-A)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}11 / 12 & -4 / 89 & -11 / 78 \\ -1 / 30 & 75 / 89 & -3 / 13 \\ -2 / 15 & -3 / 89 & 11 / 13\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{9792}{8717} & \frac{594}{8717} & \frac{78}{379} \\ \frac{178}{1895} & \frac{6853}{5685} & \frac{1958}{5685} \\ \frac{7878}{43585} & \frac{2561}{43585} & \frac{2327}{1895}\end{array}\right) \)
Soweit die Vorbereitungen, nun zur eigentlichen Aufgabe:
"Es sollen die Lieferungen der Industrie an den Endverbrauch verdoppelt werden. Es sollen die Lieferungen der Landwirtschaft (Ackerbau und Viehzucht) an den Endverbrauch halbiertwerden. Wie viel Weizen wird nach der Anpassung produziert?"
Der Endverbrauch y hat sich also verändert, dies hat Auswirkungen auf die Produktion x, die hier gesucht ist und nach Gleichung (3) berechnet werden kann:
\( x=(E-A)^{-1} \cdot y \)
\( \left(\begin{array}{c}\text { Weizen } \\ \text { Eisen } \\ \text { Schweine }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{9792}{8717} & \frac{594}{8717} & \frac{78}{379} \\ \frac{178}{1895} & \frac{6853}{5685} & \frac{1958}{5685} \\ \frac{7878}{43585} & \frac{2561}{43585} & \frac{2327}{1895}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}200 \\ 1100 \\ 275\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}356.22 \\ 1439.5 \\ 438.48\end{array}\right) \)
Nach der Anpassung werden also 356.22c Weizen produziert.
