Bestimme den Konvergenzradius von (-1)^k*2^k*(x-1)^k und konvergiert die Reihe auch an den Rändern?

Question

Bestimme den Konvergenzradius von

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ k }*{ 2 }^{ k }*{ (x-1) }^{ k } } $$

und konvergiert die Reihe auch an den Rändern des Konvergenzbereiches?

$$ \left| { a }_{ k } \right| ={ (-1) }^{ k }*{ 2 }^{ k }={ (-2) }^{ k }\\ \\ r=\lim _{ k->\infty  }{ \left| \frac { { a }_{ k } }{ { a }_{ k+1 } }  \right|  } =\frac { { (-2) }^{ k } }{ { (-2) }^{ k+1 } } =\frac { 1 }{ -2 } $$

Ist die Berechnung richtig? Wie gibt man jetzt den Radius an? Wie wird an den Rändern überprüft?

Danke.

Answer 1

Beim Radius hast du den Betrag vergessen, also r = 0,5.

Also konvergierte die Reihe jedenfalls für x aus ] 1-0,5 ; 1+0,5 [ =  ]0,5 ; 1,5 [

Die Räder sind also o,5  und   1,5.

Die musst du einsetzen und schauen, ob es dafür konvergiert oder nicht.

rechter Rand:    1,5

Summe k=1 bis ∞ über  ( -1) ^k * 2^k * 0,5^k

=  Summe k=1 bis ∞ über  ( -1) ^k  

= 1 -1 + 1 -1 + 1 - 1 ....

Partialsummen sind abwechseln 0 und 1 , konvergiert also nicht.

linker Rand  0,5 :

Summe k=1 bis ∞ über  ( -1) ^k * 2^k * (-0,5) ^k

=  Summe k=1 bis ∞ über  (-2)^k * (-0,5) ^k

=   Summe k=1 bis ∞ über  1

Ergibt als Folre der Partialsummen die

Folge der nat. Zahlen, konvergiert auch nicht.