Zeigen: Hat die Potenzreihe den Konvergenzradius r>1, so konvergiert auch die Reihe der an aus der Potenzreihe.

Question

Aufgabe:

Hat die Potenzreihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \) den Konvergenzradius \( \mathrm{r}>1 \), so konvergiert die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \)

Richtig oder falsch?

Also ich habe dafür schon eine Idee bzw. Lösung, von der ich aber nicht weiß, ob sie korrekt ist.

Es ist nach dem "Satz von Hadamard" der Voraussetzung für \( a_{n}: \sqrt[n]{a_{n}}=\frac{1}{r} \)

damit gilt für die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) ebenfalls \( \sqrt[n]{a_{n}}=\frac{1}{r} \)
fiur die Konvergenz der Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) gilt also \( \frac{I}{r}<1 \) und damit ist die Reihe nach dem "Wurzelkriterium" sogar absolut konvergent.

Präzision: Man soll von dem existierenden Konvergenzradius r, (r>1) der Potenzreihe ∑ a_nxⁿ auf die Konvergenz von  ∑a_n schließen.

Answer 1

Na gut, dann nochmal offiziell als Antwort...

Nach Voraussetzung konvergiert die Reihe für alle x mit |x| < r, also insbesondere für x=1. Setzt man x=1 aber in die Potenzreihe ein, so entsteht direkt die Reihe, deren Konvergenz nachgewiesen werden soll. Man erhält sogar absolute Konvergenz.