Gilt an → a für ein a ∈ R und konvergiert Reihe bk, so konvergiert auch die Reihe akbk.

Question

Aufgabe: Zeige oder widerlege

Seien (an)n∈N und (bn)n∈N komplexe Folgen

a) Gilt an → a für ein a ∈ R und konvergiert (Summe k=1 bis unendlich) bk, so konvergiert auch die Reihe (Summe k=1 bis unendlich) akbk.

b) Gilt an → a für ein a ∈ R und konvergiert (Summe k=1 bis unendlich) bk absolut, so konvergiert auch (Summe k=1 bis unendlich) akbk absolut.

Problem/Ansatz:

also ich komme bei der Aufgabe nicht wirklich weiter. Wenn reihe bk absolut konvergiert dann müsste doch akbk auch konvergieren oder da ja bk dann gegen 0 konvergieren müsste, dass die reihe konvergiert. Ist es dann nicht egal ob man noch mit ak multipliziert?

und zu der a) müsste doch das gleiche sein. Wo ist da der Fehler und wie könnte man diese Aussagen zeigen bzw. widerlegen

Comments

Bei (a) versuch mal \(a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\).

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Sorry für die dumme Frage aber konvergiert dann an überhaupt gegen a bei dem beispiel?

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Die Folge \(a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\) konvergiert gegen Null.

Answer 1

Hallo

Was du sagst ist : mir scheint das plausibel,aber  du musst schon einen Beweis machen, der auf der  Def. der Konvergenz der  Summe und der von an beruht.

also schreib die 2 Definitionen auf, setze sie zusammen  mit geeigneten ε und N und du findest den Beweis.

Comments

also würdest du sagen, dass die beiden Aussagen richtig sind?

danke, dann versuch ich das nochmal

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Nee, nee. Versuch mal erst die b) und schau, ob Du die absolute Konvergenz wesentlich benutzt hast.

Gruß Mathhilf

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Also ich hab die b jetzt noch einmal gemacht.

Die Reihe akbk müsste ja konvergieren weil bk->0 und ak->a und akbk->0 und demnach müsste doch die Reihe auch irgendwann konvergieren. Welche Rolle spielt da jetzt die absolute Konvergenz?

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Hallo

zu a nimm an bk konvergiert nach Leibniz a=0 und an auch alternierend, dann hat man leicht ein  ein Gegenbeispiel für a)  b) stimmt. aber nur sagen, dass akbk eine Nullfolge bilden reicht nicht. du musst schon die Def. der 2 Konvergenzen benutzen.

lul