Aloha :)
Deine Rangehensweise ist richtig.$$S:=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\quad;\quad a_n=\frac{1}{1+n+n^2\cdot n^{1/3}}=\frac{1}{1+n+n^{7/3}}>0$$Sicher ist der Nenner für alle \(n\) größer als \(n^2\), sodass:$$\frac{1}{a_n}>n^2\quad\Rightarrow\quad a_n<\frac{1}{n^2}\quad\Rightarrow\quad S<\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<2$$Nur falls du noch zeigen musst, dass die Reihe über \(\frac{1}{n^2}\) konvergiert...
Für \(n\ge2\) gilt:$$\frac{1}{n^2}\le\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\quad;\quad n\ge2$$Daher können wir die Summe von oben wie folgt abschätzen:$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=1+\sum\limits_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)$$$$\quad=1+\left[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\right]$$$$\quad=1+1-\frac{1}{n}<2$$
