Konvergiert diese Reihe (absolut)?

Question

Aufgabe:

Ist folgende Reihe (absolut) konvergent?

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(i / 2)^{n}}{1+(1 / 2)^{n}} \)

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte gar nicht unbedingt die ganze Lösung, kann mir wenigstens wer einen Tipp geben, wie ich das hier zeigen kann? Mit dem Quotientenkriterium klappt es nicht so wirklich...

Comments

Warum hast du "absolut" eingeklammert? Sind das zwei Teilaufgaben?

Answer 1

Man kann da ganz leicht eine betragsmäßig absolut konvergente Majorante angeben, nämlich eine geometrische Reihe.

Comments

Hm... aber wie bekomme ich denn den Bruch weg?

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\(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left | \dfrac{(i/2)^n}{1+(1/2)^n} \right| = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2^n +1}  \)

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Im Zähler steht aber i und nicht 1.

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Der Betrag einer komplexen Zahl ist reell.

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Ok, aber ist hier Betrag und Nicht-Betrag das selbe?

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\(\left | \dfrac{(i/2)^n}{1+(1/2)^n} \right| \) habe ich zu \(\dfrac{1}{2^n +1}\) vereinfacht.

Somit sind auch beide Summen gleich.

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Ja, schon, aber oben in der Aufgabe stehen keine Betragsstriche.

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Wir wollen prüfen, ob die Reihe absolut konvergiert; daher der Betrag.

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Stimmt, alles klar.