Für welche p ∈ N konvergiert die folgende Reihe absolut?

Question

Aufgabe:

Für welche p ∈ ℕ konvergiert die folgende Reihe absolut?

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{an} \)       mit a_n = \( \frac{(n!)^p}{(2n)!} \)

Comments

Quotienkriterium hilft z. B,

Gruß lul

Answer 1

Hallo Diana,

Quotientenkriterium:

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!22:Das_Quotientenkriterium

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium#Aussage

$$  \left|{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|= \frac{((n+1)!)^p}{(2·(n+1))!}·\frac{(2n)!}{(n!)^p}=\frac{(n+1)^p·(n!)^p}{(2·(n+1))!}·\frac{(2n)!}{(n!)^p}=\frac{(n+1)^{p}·(2n)!}{(2n+2)!}\\ = \frac{(n+1)^p·(2n)!}{2·(n+1)·(2n+1)·(2n)!}\\ =\frac{(n+1)^{p-1}}{2·(2n+1)}=\frac{(n+1)^{p-1}}{4n+2}$$

$$ \lim\limits_{x\to\infty}\frac{(n+1)^{p-1}}{4n+2} = \begin{cases}0 & \text{falls } p = 0  → Reihe absolut konvergent\\ 0 & \text{falls } p = 1  → Reihe absolut konvergent\\ 1/4 & \text{falls } p = 2  → Reihe absolut konvergent\\ ∞ & \text{falls } p \gt 2  → Reihe divergent \end{cases}$$

Gruß Wolfgang