Lösen von simultanen Kongruenzen

Question

x ≡ 3 (mod 17)

x ≡ 10 (mod 16)

x ≡ 0 (mod 15)

So habe ich angefangen:

x = 3 + 17s ; s ∈ ℤ

3 + 17s ≡ 10 (mod 16)

17s ≡ 7 (mod 16)

s ≡  7 (mod 16)

s = 7+ 16t ; t ∈ ℤ

x = 3 + 17 * (7 + 16t) = 122 + 272t

122 +272t ≡ 0 (mod 15)

2 + 2t ≡ 0 (mod 15)

2t ≡ 13 (mod)

da komme ich nicht weiter.

Sind meine Rechenschritte richtig? Falls nicht bitte ich um Änderungsvorschläge.

Anderenfalls kann mir jemand erklären wie ich allgemein bei einer solchen Situation vorgehe: 2t ≡ 13 (mod 15) oder beispielsweise 9y ≡ 1 (mod 16)

Answer 1

wenn du nach \( t \) umstellen willst, brauchst du das multiplikativ Inverse von \( 2 \) modulo \( 15 \). In deinem Fall lässt es sich leicht erkennen, es ist \( 8 \). Das heißt:

\( 2t \equiv 13 \mod 15 \),

\( t \equiv 104 \mod 15 \),

\( t \equiv 14 \mod 15 \).

Mister