An welcher Stelle c und mit welchem Winkel α schneidet sie die z-Achse?

Question

Die Ebene E enthält den Punkt (1,2,-1), schneidet die x-Achse bei 2 und die y-Achse bei 3.

An welcher Stelle c und mit welchem Winkel α schneidet sie die z-Achse?

Meine Überlegung:

Kreuzprodukt mit \( \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 0\end{array}\right) \) da der Vektor der die z-Achse schneidet orthogonal zu diesen beiden sein muss,oder?

Ergebnis wäre somit für c = 6.

Aber wie bekomme ich denn Winkel raus? Und generell: Wie sieht die Ebene aus?

Answer 1

Die Ebene E enthält den Punkt (1,2,-1), schneidet die x-Achse bei 2 und die y-Achse bei 3.

Ebene zwischen 3 Punkten Aufstellen

n = ([1, 2, -1] - [2, 0, 0]) ⨯ ([1, 2, -1] - [0, 3, 0]) = [-3, -2, -1] = -[3, 2, 1]

3x + 2y + z = [2, 0, 0] * [3, 2, 1] = 6

Wenn x und y Null sind muss z = 6 sein. Dein c ist also richtig, auch wenn ich deine Rechnung nicht verstanden habe.

Jetzt brauche ich den Winkel zwischen einem Vektor und einer Ebene. Von der Ebene nehme ich den Normalenvektor n.

α = arcsin([0, 0, 1]·[3, 2, 1]/(ABS([0, 0, 1])·ABS([3, 2, 1]))) = 15.50°

Comments

OH vielen Dank!

Trotzdem habe ich noch ein paar Fragen:

1)
Warum ist
3x + 2y + z = [2, 0, 0] * [3, 2, 1] = 6 bzw. warum nehmen wir hier das Skalarprodukt von genau diesen 2 Punkten?

2)
Warum nehmen wir hier arcsin und nicht arccos?

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1) Warum ist
3x + 2y + z = [2, 0, 0] * [3, 2, 1] = 6 bzw. warum nehmen wir hier das Skalarprodukt von genau diesen 2 Punkten?

[3, 2, 1] ist der Normalenvektor der Ebene den ich ausgerechnet habe. [2, 0, 0] ist ein Punkt der Ebene. Da hätte ich auch jeden anderen beliebigen Punkt nehmen können.

2) Warum nehmen wir hier arcsin und nicht arccos?

Bei Winkeln zwischen zwei Vektoren -> arccos
Bei Winkeln zwischen zwei Ebenen -> arccos

Bei Winkeln zwischen Vektoren und Ebenen -> arcsin :)

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ahhh!
danke, jetzt ist mir einiges klarer:):)