Unter welchem Winkel α schneidet das Schaubild der Funktion f die x-Achse

Question

Hey

Könnte mir jemand bitte bei dieser Aufgabe weiterhelfen. :)

LG Chris

Text erkannt:

Unter welchem Winkel \( \alpha \) schneidet das Sch aubild der Fun ktion \( f \) die \( x \) -Achse, mit
$$ f(x)=\log _{10}(109+x)-2 ? $$
Geben Sie den Winkel in Grad gerundet auf 4 Nach kommastellen an.

Answer 1

Aloha :)

Wir brauchen zuerst die Nullstelle der Funktion:

$$\left.\log_{10}(109+x)-2=0\quad\right|+2$$$$\left.\log_{10}(109+x)=2\quad\right|10^{\cdots}$$$$\left.109+x=100\quad\right|-109$$$$x=-9$$

Für den Schnittwinkel \(\alpha\) gilt nun:

$$\tan\alpha=f'(-9)=\left(\frac{\ln(109+x)}{\ln(10)}\right)'_{x=-9}=\left(\frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{1}{109+x}\right)_{x=-9}=\frac{1}{100\ln(10)}$$$$\alpha=\arctan\left(\frac{1}{100\ln(10)}\right)=0,2488^\circ$$

Der Winkel ist winzig, achte auf die Skalierung der \(y\)-Achse:

~plot~ ln(109+x)/ln(10)-2 ; [[-10|0|0|0,1]] ~plot~