Bestimme den Kern von LB und den Kern von L

Question

kann mir einer bei der Aufgabe a) behilflich sein? oder zumindest mir helfen auf einen ANsatz zu kommen :) Der Kern ist ja nichts weiteres, als alle Vektoren, die auf den Nullvektor abbilden, oder? Und wie wird der Kern bei einer Matrix bestimmt?  bzw. von einer linearen Abbildung?

Answer 1

Im  Kern ( L_B ) sind alle   (x;y)^T , die beim Produkt   L_B * (x;y)^T = (0;0)^T ergeben,

Also wenn x - y = 0 gilt, also alle mit x=y  . Eine Basis wäre etwa (1;1)^T .

Kern von L sind alle Matrizen aus W , die durch L auf  die Nullmatrix abgebildet werden.

Jede Matrix   M =

a b
b a

aus W, wird durch die Matrizen B1 und B2 aus der Basis B so dargestellt

(a+b) *B1  +  b*B2

Und das Bild  wird dann dargestellt von

L_B *     (a+b ; b ) ^T     =   ( a ; 0 )  also

ist   L(M) = 

2a 0
0   2a 

und das ist die Nullmatrix, falls a=0 .

b kann also beliebig sein, damit ist der Kern von L

die Menge der Matrizen

0    b
b    0    hat also als Basis etwa die Matrix

0   1
1   0 .

Ist also 1-dimensional und  weil dim(W) = 2 ist

also dim(Bild(L)) = 1