Beides kann man ja erst nur lösen wenn man eine matrix hat und p(x) ist keine Matrix, ...
Es geht auch um die lineare Abbildung \(L\) (Begruende, dass es ueberhaupt eine ist!) und nicht um die Polynomfunktionen $$p:x\mapsto a_0+a_1x+a_2x^2$$ des Vektorraums. Es gilt $$L(x\mapsto a_0+a_1x+a_2x^2)=x\mapsto a_1+2a_2x,$$ wie man aus der Analysis weiss. \(L\) bildet also jede Poynomfunktion hoechstens zweiten Grades auf ihre Ableitungsfunktion ab.
Es sind gerade die konstanten (Polynom-)Funktionen, die beim Ableiten verschwinden (d.h. die Nullfunktion \(x\mapsto0\) ergeben): $$\operatorname{Kern} L=\{x\mapsto a\mid a\in\mathbb{R}\}.$$
Ebenso ist klar, dass man durch Ableiten von Polynomfunktionen hoechstens zweiten Grades (alle) Poynomfunktionen hoechstens ersten Grades bekommt: $$\operatorname{Bild} L=\{x\mapsto a_0+a_1x\mid a_0,a_1\in\mathbb{R}\}.$$ Eine Basis davon ist \(\{x\mapsto1,x\mapsto x\}\).
(Ob Dir Die Notation \(x\mapsto\ldots\) beim Verstaendnis hilft, kannst Du Dir selber ueberlegen. Notfalls eben ignorieren. Und eine darstellende Matrix für \(L\) zu berechnen waere natuerlich trotzdem eine gute Uebung, auch wenn man es nicht braucht.)