Bestimme Kern und Basis des Bilds von L. L: ℝ<=2(x) --> ℝ<=2(x) , p(x) --> p'(x)

Question

Kann mir bitte jemand bei folgender aufgabe helfen,

L: ℝ_<=2(x) --> ℝ_<=2(x) , p(x) --> p'(x)

p(x)= 3x² + 2x + 1

p'(x) = 6x+2

a) bestimmen sie Kern(L)

b) Bestimmen Sie eine Basis des Bilds L

Beides kann man ja erst nur lösen wenn man eine matrix hat und p(x) ist keine Matrix, wir hatten aber noch zu dieser Aufgabe 2 Basen einmal (x^2,x,1) und C=(x²+x,x,1) ich weiss nicht ob ich die wirklich brauche weil ja hier allgemein nach dem kern von L  und einer basis des Bilds L gefargt ist.

danke:)

Comments

Bezeichne das Nullpolynom mit $n$. Für ein Polynom $q\in\operatorname{Kern}(L)$ gilt $q'=n$, d.h. es existiert ein $c\in\mathbb R$ mit $q(x)=c$. Der Kern besteht also aus den konstanten Funktionen.

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Soll es heißen ich sollp (x) = 0 setzten? Man kann doch eine funktion nicht gleich dem nullvektor setzen.

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" Man kann doch eine funktion nicht gleich dem nullvektor setzen. " 

p(x)= 3x² + 2x + 1

p'(x) = 6x+2

2 Basen einmal B=  (x^2,x,1) und C=(x²+x,x,1)

In der Basis B gehört zu p(x) der Vektor (3,2,1) und zu p' der Vektor (0, 6, 2) . 

Das Nullpolynom hat den Vektor (0, 0, 0) . 

Ob du die Basis C noch separat zu betrachten hast, geht mE aus der angegebenen Fragestellung nicht hervor. 

So weit verständlich? 

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Ja verständlich, also soll ich C weglassen

Answer 1

Beides kann man ja erst nur lösen wenn man eine matrix hat und p(x) ist keine Matrix, ...

Es geht auch um die lineare Abbildung $L$ (Begruende, dass es ueberhaupt eine ist!) und nicht um die Polynomfunktionen $$p:x\mapsto a_0+a_1x+a_2x^2$$ des Vektorraums. Es gilt $$L(x\mapsto a_0+a_1x+a_2x^2)=x\mapsto a_1+2a_2x,$$ wie man aus der Analysis weiss. $L$ bildet also jede Poynomfunktion hoechstens zweiten Grades auf ihre Ableitungsfunktion ab.

Es sind gerade die konstanten (Polynom-)Funktionen, die beim Ableiten verschwinden (d.h. die Nullfunktion $x\mapsto0$ ergeben): $$\operatorname{Kern} L=\{x\mapsto a\mid a\in\mathbb{R}\}.$$

Ebenso ist klar, dass man durch Ableiten von Polynomfunktionen hoechstens zweiten Grades (alle) Poynomfunktionen hoechstens ersten Grades bekommt: $$\operatorname{Bild} L=\{x\mapsto a_0+a_1x\mid a_0,a_1\in\mathbb{R}\}.$$ Eine Basis davon ist $\{x\mapsto1,x\mapsto x\}$.

(Ob Dir Die Notation $x\mapsto\ldots$ beim Verstaendnis hilft, kannst Du Dir selber ueberlegen. Notfalls eben ignorieren. Und eine darstellende Matrix für $L$ zu berechnen waere natuerlich trotzdem eine gute Uebung, auch wenn man es nicht braucht.)

Comments

Danke das habe ich verstanden, aber was bringt mir das um den kern zu bestimmen

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Soöl es heissen die konstante folge ist der kern?

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Dann ist doch die 2 im Kern, da 6x + 2.

Ich verstehe böoss den zusammnenhang zwischen funktionen und matrix nicht genau

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Kern ist doch 1/3

Bild L (x-> 6x+2)

Basis (x-> x ) ?

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Die beiden Zeilen mit $p$ und $p'$ sind ein illustrierendes Beispiel für die Arbeitsweise von $L$, sonst nichts. In der Aufgabe geht es um $L$.  Mal ganz ehrlich: Du bist hier wie jemand, der ein chinesisches Gedicht interpretieren will, aber kein Chinesisch kann.

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Sorry ich kann echt nicht damit anfangen wirklich ich weiss nicht wie ich es auf L übertragen soll