Bestimme Kern und Basis des Bilds von L. L: ℝ<=2(x) --> ℝ<=2(x) , p(x) --> p'(x)

Question

Kann mir bitte jemand bei folgender aufgabe helfen,

L: ℝ_<=2(x) --> ℝ_<=2(x) , p(x) --> p'(x)

p(x)= 3x^2 + 2x + 1

p'(x) = 6x+2

a) bestimmen sie Kern(L)

b) Bestimmen Sie eine Basis des Bilds L

Beides kann man ja erst nur lösen wenn man eine matrix hat und p(x) ist keine Matrix, wir hatten aber noch zu dieser Aufgabe 2 Basen einmal (x^2,x,1) und C=(x^2+x,x,1) ich weiss nicht ob ich die wirklich brauche weil ja hier allgemein nach dem kern von L  und einer basis des Bilds L gefargt ist.

danke:)

Comments

Bezeichne das Nullpolynom mit \(n\). Für ein Polynom \(q\in\operatorname{Kern}(L)\) gilt \(q'=n\), d.h. es existiert ein \(c\in\mathbb R\) mit \(q(x)=c\). Der Kern besteht also aus den konstanten Funktionen.

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Soll es heißen ich sollp (x) = 0 setzten? Man kann doch eine funktion nicht gleich dem nullvektor setzen.

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" Man kann doch eine funktion nicht gleich dem nullvektor setzen. " 

p(x)= 3x² + 2x + 1

p'(x) = 6x+2

2 Basen einmal B=  (x^2,x,1) und C=(x²+x,x,1)

In der Basis B gehört zu p(x) der Vektor (3,2,1) und zu p' der Vektor (0, 6, 2) . 

Das Nullpolynom hat den Vektor (0, 0, 0) . 

Ob du die Basis C noch separat zu betrachten hast, geht mE aus der angegebenen Fragestellung nicht hervor. 

So weit verständlich? 

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Ja verständlich, also soll ich C weglassen

Answer 1

Beides kann man ja erst nur lösen wenn man eine matrix hat und p(x) ist keine Matrix, ...

Es geht auch um die lineare Abbildung \(L\) (Begruende, dass es ueberhaupt eine ist!) und nicht um die Polynomfunktionen $$p:x\mapsto a_0+a_1x+a_2x^2$$ des Vektorraums. Es gilt $$L(x\mapsto a_0+a_1x+a_2x^2)=x\mapsto a_1+2a_2x,$$ wie man aus der Analysis weiss. \(L\) bildet also jede Poynomfunktion hoechstens zweiten Grades auf ihre Ableitungsfunktion ab.

Es sind gerade die konstanten (Polynom-)Funktionen, die beim Ableiten verschwinden (d.h. die Nullfunktion \(x\mapsto0\) ergeben): $$\operatorname{Kern} L=\{x\mapsto a\mid a\in\mathbb{R}\}.$$

Ebenso ist klar, dass man durch Ableiten von Polynomfunktionen hoechstens zweiten Grades (alle) Poynomfunktionen hoechstens ersten Grades bekommt: $$\operatorname{Bild} L=\{x\mapsto a_0+a_1x\mid a_0,a_1\in\mathbb{R}\}.$$ Eine Basis davon ist \(\{x\mapsto1,x\mapsto x\}\).

(Ob Dir Die Notation \(x\mapsto\ldots\) beim Verstaendnis hilft, kannst Du Dir selber ueberlegen. Notfalls eben ignorieren. Und eine darstellende Matrix für \(L\) zu berechnen waere natuerlich trotzdem eine gute Uebung, auch wenn man es nicht braucht.)

Comments

Danke das habe ich verstanden, aber was bringt mir das um den kern zu bestimmen

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Soöl es heissen die konstante folge ist der kern?

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Dann ist doch die 2 im Kern, da 6x + 2.

Ich verstehe böoss den zusammnenhang zwischen funktionen und matrix nicht genau

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Kern ist doch 1/3

Bild L (x-> 6x+2)

Basis (x-> x ) ?

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Die beiden Zeilen mit \(p\) und \(p'\) sind ein illustrierendes Beispiel für die Arbeitsweise von \(L\), sonst nichts. In der Aufgabe geht es um \(L\).  Mal ganz ehrlich: Du bist hier wie jemand, der ein chinesisches Gedicht interpretieren will, aber kein Chinesisch kann.

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Sorry ich kann echt nicht damit anfangen wirklich ich weiss nicht wie ich es auf L übertragen soll