Integralrechnung ( Fläche berechnen) y = - x^3 + 3x^2 , und Gerade g.

Question

Hi, kann mir mal jemand helfen wie ich die Grenzen setzten muss bei dem Beispiel?

Ich habe y(x)=t(x) gleichgesetzt und habe Schnittpunkte - + 1 bekommen.

Dann hätte ich für Fläche 1 die Untergrenze -1 und Obergrenze 1 genommen und mit dem TS ausgerechnet, es kommt aber ein anderer Betrag.

Fläche 2 : Unter.Gr. 0  und Ober.Gr 3

Fläche 3 : Untergrenze 1 und Obergrenze 3 :-/ wie ist es richtig?

Comments

Woher weiß ich wann ich die Flächen addieren soll bzw. subtrahieren ?

Und von welcher Funktion ziehe ich immer die andere ab? Wie ist die richtige Reihenfolge.

Wieso darf ich für die erste Fläche nicht gleich von -1 bis 1 integrieren usw.?

Answer 1

~plot~ -x^3+3x^2;-x+3 ~plot~

Fläche 1 ist nicht eindeutig

Integral von 0 bis 1 über -x+3  -  ( -x^3 + 3x^2 ) dx

Integral von -1 bis 0  über -x+3  -  ( -x^3 + 3x^2 ) dx .

Bei Fläche 2 brauchst du 2 Integrale

Integral von 0 bis 1 über  -x^3 + 3x^2  dx

+
Integral von 1 bis 3 über -x+3  dx

Fläche 3:

Integral von 1 bis 3 über  ( -x^3 + 3x^2 ) - (-x+3)  dx

Comments

Darf ich nicht gleich von -1 bis 1 wählen ? Weil die 0 dazwischen ist ?

Und wie schaut es mit anderen Flächen aus? Liege ich da auch falsch ?

Es hieß ja immer mit benachbarten Nullstellen rechnen, wusste aber nicht das es auch für Schnittpunkte gilt

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Darf ich nicht gleich von -1 bis 1 wählen ? Weil die 0 dazwischen ist ?

Es hieß doch, begrenzt durch die y-Achse !

Answer 2

f(x)=-x^3+3x^2

Wendepunkt berechnen:

f'(x)=-3*x^2+6x

f''(x)=-6x+6=0 -->x=1

f(1)=2

g(x)=mx+n

g(1)=2=m+n

g(3)=0=3m+n --> -1=m; n=3

g(x)=-x+3

~plot~ -x^3+3x^2;-x+3 ~plot~

Fläche A₁:

f(x)=g(x)

-x^3+3x^2=-x+3

-x^3+3x^2+x-3=0 , 1 ist bekannte Nullstelle

(x-1)*(-x^2+2x+3)=0

(-x^2+2x+3)=0 

(x-1)^2=4 --> x=3 ,x=-1

A₁=∫₀¹ g(x)-f(x)dx=∫₀¹-x+3+x^3-3x^2dx=[-1/2x^2+3x+1/4x^3-x^3]₀¹=-1/2+3+1/4-1=1.75

A₂=∫₀¹f(x)dx+∫₁³g(x)dx=∫₀¹-x^3+3x^2dx+∫₁³-x+3dx=3/4+2=2.75

A₃=∫₁³ f(x)-g(x)dx=...=4