Stelle die Funktion x^2 cos(5x) als Potenzreihe dar

Question

ich soll f(x)=x^2+cos(5x) als Potenzreihe darstellen.

 

So habe ich mir das Vorgestellt. Aber wie ist der Weg zu der -25^n ?

Das Verstehe ich nicht ganz.

Comments

Ich habe eine Frage: Ist das Rote deine Schrift oder eine Korrektur?

---

Das rote ist mein Gedankengang. (also meine Schrift)

Also ich stelle zuerst die Reihe für cos(x) und x^2 auf.

Dann hab ich das x^2 in die Reihe für cos(x) eingegliedert und habe jetzt cos(x)x^2.

Jetzt muss aus cos(x) noch cos(5x) werden. Ich weiß auch das da die -25, rot dazugeschrieben hin muss. Ich würde jetzt nur gerne wissen wie man darauf kommt oder ob man da einfach immer das Quadrat des Vorfaktors von x einsetzen muss.

Answer 1

Ein Detail: Rechts solltest du das Summenzeichen nicht davor schreiben.

Du hast ja dann von links (a+b+c+…) und von rechts noch x^2 (keine Summe x^2 + x^2 +...)

Dann hab ich das x² in die Reihe für cos(x) eingegliedert und habe jetzt cos(x)x².

Soweit ok.

Jetzt muss aus cos(x) noch cos(5x) werden. Ich weiß auch das da die -25, rot dazugeschrieben hin muss. Ich würde jetzt nur gerne wissen wie man darauf kommt oder ob man da einfach immer das Quadrat des Vorfaktors von x einsetzen muss.

-25 kommt vermutlich von einer zweimaligen Ableitung von cos (5x)  oder von einer partiellen Integration, weil (cos(5x))'' = - 25 cos(5x)

Allgemein gilt: cos (Ax)'' = - A^2 cos(Ax).

Da müsstest du mal noch schauen, wie man die Potenzreihe genau ausrechnet.

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

In der Formel dort ist a=0. 

y = cos (Ax)    an der Stelle x=0 ist das 1

y' = -Asin(Ax)   an der Stelle x=0 ist das 0

y '' = -A^2 cos(Ax) an der Stelle x=0 ist das -A^2 * 1 = -A^2

usw. 

Comments

Hier leitet man doch nicht ab, sondern setzt einfach in die bekannte Reihendarstellung des Cosinus ein.

---

@Anonym: Die Frage war, woher der Faktor (-25) kommt. Hast du dafür eine einfachere Erklärung?

---

Genau, und was ist denn (-1)ⁿ (5x)²ⁿ?