Induktionsbeweis, Probleme beim Umformen der Summe 5 * ∑(i = 0 bis n) (4*5^i) + 4

Question

Ich komme bei Folgendem Induktionsbeweis irgendwie nicht weiter:

Beweisen sie mit vollständiger Induktion, dass für n ∈ ℕ₀ stets gilt:

∑(i = 0 bis n) (4*5ⁱ) = 5ⁿ⁺¹ - 1

Den ganzen anfang lass ich mal aus. Das sollte stimmen.

I.B. Zu zeigen: ∑(i = 0 bis n+1) (4*5ⁱ) = 5ⁿ⁺² - 1

5ⁿ⁺² - 1 = 5 * 5ⁿ⁺¹ - 1

= 5 * (5ⁿ⁺¹ - 1) + 4

= 5 *  ∑(i = 0 bis n) (4*5ⁱ) + 4

=  ∑(i = 0 bis n+1) (4*5ⁱ)

nur bei dem letzten Schritt habe ich keine ahnung, wie ich da drauf kommen soll. Ich habe es mal so hingeschrieben, da das ja rauskommen soll, aber ich wäre nicht von 5 *  ∑(i = 0 bis n) (4*5ⁱ) + 4 auf  ∑(i = 0 bis n+1) (4*5ⁱ) gekommen, ohne das davor schon zu wissen. Oder habe ich davor schon irgendwo einen Fehler gemacht?

Answer 1

= 5 *  ∑(i = 0 bis n) (4*5ⁱ) + 4

=  ∑(i = 1 bis n+1) (4*5ⁱ) + 4*5^0

=  ∑(i = 0 bis n+1) (4*5ⁱ)

Genügt dir dieser Zwischenschritt?

Comments

Verstehe das immer noch nicht so ganz. Die Summe wird ja mit 5 multipliziert. Woher weiß man, dass das das gleiche ist, wie die summe von 1 bis n+1?

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Schreib dir das als Übung ruhig mal aus:

5 *  ∑(i = 0 bis n) (4*5ⁱ) + 4          | Summe ausschreiben

= 5*( 4* 5^0 + 4*5^1 + 4*5^2 + .... + 4*5^n) + 4        | Distributivgesetz

= 4*5* 5^0 + 4*5*5^1 + 4**5*5^2 + .... + 4*5*5^n + 4    | Potenzgesetze

= 4* 5^{1+0} + 4*5^{1+1} + 4*5^{1+2} + .... + 4*5^{1+n} + 4 

= 4* 5^{1} + 4*5^{2} + 4*5^{3} + .... + 4*5^{1+n} + 4      | Blauen Teil in Summe umschreiben

=  ∑(i = 1 bis n+1) (4*5ⁱ) + 4*5⁰            | 5^0 = 1 ==> Summe bei 0 starten. 

=  ∑(i = 0 bis n+1) (4*5ⁱ)

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ok jetzt hab ichs verstanden. Danke