Induktionsbeweis Schwierigkeiten beim Umformen/Zusammenfassen

Question

Hier geht es um einen klassischen Induktionsbeweis der eigentlich recht einfach ist, vorgehen etc. ist klar... eigentlich bin ich wirklich nicht so schlecht im Umformen aber ich weiß nicht wie mein Prof. nach dem er alles auf den selben Nenner gebracht hat die Zeile auf diese Form bringt. Zeile (4 von 5) ist für mich die Umformung nicht nachvollziehbar.

\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=0}^{n+1}\left(k \cdot q^{k}\right) & =\sum \limits_{k=0}^{n}\left(k \cdot q^{k}\right)+(n+1) \cdot q^{n+1} \\ & \stackrel{\text { (IV) }}{=} \frac{n \cdot q^{n+2}-(n+1) \cdot q^{n+1}+q}{(1-q)^{2}}+(n+1) \cdot q^{n+1} \\ & =\frac{n \cdot q^{n+2}-(n+1) \cdot q^{n+1}+q+(n+1) \cdot q^{n+1} \cdot(1-q)^{2}}{(1-q)^{2}} \\ & =\frac{n \cdot q^{n+2}+q+(n+1) \cdot q^{n+1} \cdot\left(-1+1+2 q+q^{2}\right)}{(1-q)^{2}} \\ & =\frac{n \cdot q^{n+2}+q-2(n+1) \cdot q^{n+2}+(n+1) q^{n+3}}{(1-q)^{2}}=\frac{(n+1) \cdot q^{n+3}-(n+2) \cdot q^{n+2}+q}{(1-q)^{2}}\end{aligned} \)

Vielen Dank im voraus für eure Hilfe,

LG Mathesurfer

Answer 1

In der 4. Zeile sollte das doch einmal - 2q statt 2q lauten.

Ich fasse mal ab der 3 Zeile den Zähler neu zusammen.

n·q^(n + 2) - (n + 1)·q^(n + 1) + q + (n + 1)·q^(n + 1)·(1 - q)^2

n·q^(n + 2) - (n + 1)·q^(n + 1) + q + (n + 1)·q^(n + 1)·(1 - 2·q + q^2)

n·q^(n + 2) - (n + 1)·q^(n + 1) + q + (n + 1)·q^(n + 1) - 2·(n + 1)·q^(n + 2) + (n + 1)·q^(n + 3)

n·q^(n + 2) + q - 2·(n + 1)·q^(n + 2) + (n + 1)·q^(n + 3)

n·q^(n + 2) - 2·(n + 1)·q^(n + 2) + (n + 1)·q^(n + 3) + q

(n + 1)·q^(n + 3) + n·q^(n + 2) - (2·n + 2)·q^(n + 2) + q

(n + 1)·q^(n + 3) - (n + 2)·q^(n + 2) + q

Comments

Vielen Dank für deine Schnelle Antwort !! jetzt passt alles und nochmal danke für die Detailreiche Aufschlüsselung !!!