Grenzwert L'Hospital Potenzaufgabe

Question

Wie berechne ich den Grenzwert folgender Aufgabe

Answer 1

Hi,

die ist nicht weiter kompliziert. Man muss nur den Trick anwenden a = e^{ln a}

$$\lim x^\frac{1}{x-1} = \lim e^{\frac{1}{x-1}\ln(x)} = \{l'H\} = \lim e^{\frac{1}{x}/1} = \lim e^{\frac1x} = e$$

Beachte, dass ich direkt die Potenzgesetze angewendet habe (beim ersten Schritt) ln(a^b) = b*ln(a)

Grüße

Comments

warum kann ich hier x als e bezeichnen und den Zähler vom Exponenten ln(x).

In meinem Buch finde ich nur das dass ganze mit ln genommen wird.

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Nope, das habe ich nicht getan. Wie gesagt es wurde die Regel a = e^{ln a} angewandt, mit a = x^1/(x-1) ;).

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check ich nicht xD.
Also bei mir steht jetzt e^{ln(x^{1/x-1})}
Dann kann ich den Exponenten im ln vor dem ln schreiben.
Dann habe ich e^{(1/(x-1))*ln(x)}

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Ok habs. Besten dank. Habs auch mit ln(x) im Nenner ausprobiert. Mit Quotientenregel etwas mühseliger aber auch erreichbar. Mit 1/(x-1) am einfachsten, da bei 1 durch x-1 automatisch x-1 im Nenner steht und ln(x) im Zähler. Anschliessend beides ableiten und einsetze, kommt 1 raus. Danke nochmals :)

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vielleicht kannst du mir ja auch bei der Aufgabe behilflig sein.
https://www.mathelounge.de/360032/integralrechnung-uneigentliches-riemannintegral-grenzwerte

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Ich schau es mir später an und kommentiere, sollte ich ein paar Ideen haben. Nun für eine Weile weg :).

Answer 2

 wegen x > 0  ist  lim_x→1 [1/(x-1) · ln(x) ]  = lim_x→1 [ ln(x) / (x-1) ]  vom Typ " - ∞ / ∞" ,

also L'Hospital anwenden (Zähler und Nenner getrennt ableiten):

lim_x→1 [ ln(x) / (x-1) ]  = lim_x→1 [ (1/x ) / 1 ]  = 1

weil die Exponentialfunktion stetig ist,  gilt  lim e^f(x) = e^{lim f(x)}

→  lim_x→1 x^1/(x-1)  =   lim_x→1 e^{1/(x-1) ·ln(x)}  =  e^{lim [1/(x-1)·ln(x) ]}  =  e¹ = e

Gruß Wolfgang