Berechnen Sie, falls existent, die folgenden Grenzwerte: Lim x gegen 5 ((sin(x)-sin(5))/(x-5)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie, falls existent, die folgenden Grenzwerte:

(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 5} \frac{\sin (x)-\sin (5)}{x-5} \)
(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} x \cdot\left(\arctan (x)-\frac{\pi}{2}\right) \)
(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\cos (\sqrt{1-x}) \cdot \sin (\sqrt{1-x})}{\sqrt{1-x}} \)
(d) \( \lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{\ln \left(x^{2}-3\right)^{7}} \)
(e) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{x+2}{x-2}\right)^{x} \)

Answer 1

Hallo

Der Grenzwert hat der Form nach den Ausdruck 0/0, das heißt die L'Hopitalsche Regel ist anwendbar: Teilen Sie einfache ihre Ableitungen, bis sich kein Ausdruck der Form 0/0 ergibt, hier schon nach dem 1. Differenzieren:

lim (x-> 5)       (sinx -sin 5)/(x -5) = lim (x-> 5)    (cosx -0)/(1 -0) = lim (x-> 5)    cos x = cos 5

Bedenken Sie aber, dass x = 5 (rad) = 286.48 ° ist, das ist sicherlich nicht gemeint !!

Wahrscheinlich meinen SIe lim (x -> 5*pi/180)      (sinx -sin (5*pi/180)) / (x -5*pi/180) = cos (5*pi/180) = cos 5° = 0.996194698...

Comments

Mit 5 meint man für gewöhnlich 5 und nicht 5 Grad, cos(5) ist schon ein "fertiges" Ergebnis.

Und l'Hospital hier anzuwenden, ist sinnfrei, da der zu bestimmende Grenzwert bereits ein Differentialquotient ist.

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Und l'Hospital hier anzuwenden, ist sinnfrei, da der zu bestimmende Grenzwert bereits ein Differentialquotient ist.

Hi, warum denn sinnfrei? Die Voraussetzungen werden erfüllt und wenn man nicht benutzen will, dass der zu bestimmende Grenzwert bereits ein Differentialquotient ist, und man damit das Ergebnis sofort hinschreiben könnte, kommt man doch mit l'Hospital auch zum Ziel.