Diskutieren Sie die Funktion: f(x) = (x^4 - 8x^2 + 16) / (2x^2)

Question

Ich rechne jetzt das selber aus, brauche zu sicherheit andere Rechning, weil die Aufgaben wichtig sind.

Gegeben ist die Funktion f : D -> lR. f(x) = (x^4 - 8x^2 + 16) / (2x^2)

Diskutieren Sie f. Eine Kurvendiskussion beinhaltet folgende Punkte:

o Definitionsmenge und Symmetrie
o Schnittstelle mit der y-Achse und Nullstellen mit Vielfachheit
o Definitionslücken. Art und Verhalten an den Definitionslücken
o Ableitungen (Zumindest erste und zweite Ableitung)
0 Extrema und Monotonieverhalten
o Wendestellen und Krümmungsverhalten
o Grenzverhalten und Asymptotik
o Skizze der Funktion

Beachten Sie. dass je nach Funktion die richtige Antwort auf einige der oben genannten Punkte „nicht vorhanden“ ist.

Comments

Hier schon mal eine Skizze zur Kontrolle deiner Rechnungen. Blau: deine Kurve. Rot: y = 0.5x^2

Vertikale Asymptote bei x=0. Die Nullstellen bei ±2 sind die Tiefpunkte. Hochpunkte sind keine vorhanden.

Answer 1

f(x) = (x^4 - 8x^2 + 16) / (2x^2)
f'(x) = (x^4 - 16) / x^3
f''(x) = (x^4 + 48) / x^4

Definitionsmenge

Ich darf für x alles einsetzen außer Null, weil man durch Null nicht teilen darf. D = R \ {0}

Symmetrie

Wir haben nur gerade Potenzen von x und somit eine Achsensymmetrische Funktion

Y-Achsenabschnitt f(0)

Nicht Definiert

Nullstellen f(x) = 0

x^4 - 8x^2 + 16 = 0
z^2 - 8z + 16 = 0
z = 4
x = ± 2

Definitionslücken. Art und Verhalten an den Definitionslücken

x = 0

lim x→0- f(x) = ∞
lim x→0+ f(x) = ∞

Extrema f'(x) = 0

x^4 - 16 = 0
x = ± 2

Die Nullstellen sind gleichzeitig Extrema. Und da die Funktion gegen 0 ins unendliche Wächst sind das zwei Tiefpunkte.

Monotonieverhalten

Monoton steigend für x [-2, 0[ und [2, ∞[
Monoton fallend für x ]-∞, -2] und ]0, 2[

Wendestellen f''(x) = 0

x^4 + 48 = 0

Kann nicht null werden, daher keine Krümmung. Die Funktion ist an jeder Stelle linksgekrümmt.

Grenzverhalten

lim x→-∞ f(x) = ∞
lim x→∞ f(x) = ∞

Asymptotik

Die y-Achse ist vertikale Asymptote

Polynomdivision

(x^4 - 8x^2 + 16) / (2x^2) = 1/2x^2 - 4 + 8/(x^2)

Eine Asymptote ist 1/2*x^2 - 4

Skizze der Funktion