Bestimme den Definitionsbereich und alle Asymptoten der Funktion f(x)=(2x^3 + 2x^2 -6x -8)/(x^2 -x -2)

Question

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und alle Asymptoten der folgenden rationalen Funktion f(x). Untersuchen Sie dabei das Grenzverhalten an den Polstellen von beiden Seiten.

\( f(x)=\frac{2 x^{3}+2 x^{2}-6 x-8}{x^{2}-x-2} \)

Answer 1

Hi,

Postellen gibt es bei den Nennernullstellen, welche nicht gleichzeitig auch Zählernullstellen sind. Diese schränken auch den Definitionsbereich ein.

D=ℝ\{-1;2}

 

(Nutze für die Grenzwerte an den Polstellen die h-Methode)

Polstelle bei x=2

lim_x→2-0f(x)=-∞

lim_x→2+0f(x)=∞

 

Polstelle bei x=-1

lim_x→-1-0f(x)=-∞

lim_x→-1+0f(x)=∞

 

Asymptoten:

senkrecht: Bei x=2 und x=-1

 

Alles klar? Die h-Methode ist sicher bekannt? ;)

 

Grüße

Schräge Asymptote:

Polynomdivision: (2x^3+2x^2-6-8)/(x^2-x-2)=2x+4+(2x)/(x^2-x-2)

Asymptote also y=2x+4.