Wie lautet die Gleichung der Parabel? (Kegelschnitte)

Question

folgendes muss ich lösen:

1. Der Scheitelpunkt einer Parabel sei S(4; -2) der Brennpunkt F(7; -2)

   Wie lautet die Gleichung der Parabel?

   Bin wirklich planlos... 
   

Answer 1

Die Leitllinie verläuft senkrecht zu der Geraden durch Brennpunkt und Scheitelpunkt. Sie hat vom Scheitelpunkt den gleichen Abstand wie der Brennpunkt, liegt aber auf der anderen Seite der Parabel. Also hat die Leitlinie die Gleichung x=1.

Angenommen der Punkt P(x,y) liegt auf der Parabel. Der Abstand von P zur Leitlinie ist dann x-1. Der Abstand von P zum Brennpunkt ist √((x-7)² + (x-(-2)²)) wegen Pythagoras.

Laut Definition der Parabel ist der Abstand von P zur Leitlinie und von P zum Brennpunkt gleich, also

        x-1 = √((x-7)² + (y-(-2)²)).

Vereinfache die Gleichung.

Answer 2

Schieb mal erst alles um 2 nach oben, dann hast du

S(4;0) und F(7;0)

und dann um 4 nach links, dann

S(0;0) und F(3;0)

Die Parabel hat die die Gleichung x = a*y^2   und  Brennpunkt ist ( 1/(4a)  ; 0 )

also wäre das   x = 1/12 * y^2 

Jetzt die Verschiebungen rückgängig machen:  4 nach rechts

also x-4 statt  gibt   x - 4 = 1/12 * y^2 

2 nach unten also y durch y+2 ersetzen gibt

x - 4 = 1/12 * (y+2)^2 

Das ist die Gleichung.

Answer 3

Verschieben wir mal den Scheitelpunkt in den Ursprung, dann verschiebt sich der Brennpunkt nach [3, 0], Vertauschen wir jetzt noch x und y Achse dann ist der Brennpunkt bei [0, 3]

Jetzt ist f = 3 und für die Gleichung der Parabel gilt

y = 1/(4f) * x^2 = 1/12 * x^2

Jetzt vertauschen wir wieder die x- und y-Achse

y = 1/12 * x^2

x = ± √(12 * y)

y = ± √(12 * x)

Diese Funktion verschieben wir jetzt zurück an die Stelle [4, -2].

y = ± √(12 * (x - 4)) - 2

Skizze

~plot~ sqrt(12*(x-4))-2;-sqrt(12*(x-4))-2;x=1;{4|-2};{7|-2};[[0|24|-10|6]] ~plot~