Kegelschnitte bestimmen - Wo liegt mein Fehler - Parabel

Question

Aufgabe:

4x²-20xy+25y²-15x-6y=0

Problem/Ansatz:

Ich weiß durch Zeichnen von GeoGebra, dass es sich um eine Parabel handelt, aber beim Rechnen komme ich auf 2 parallele Geraden.

1)  x^Tx + p^Tx + f = 0 

A=\( \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ -10 & 25 \end{pmatrix} \)

p^T = (-15, -6)

2) det (A) = 0 

3) Drehung: x=B*s mit s = (s1,s2)

Spalten von B sind die normierten Eigenvektoren der Matrix A

λ₁= 29 und λ₂= 0 

v₁= \( \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix} \)

v₂= \( \begin{pmatrix} -2\\5 \end{pmatrix} \)

die normierten Eigenvektoren ergeben sich durch:

v₁*= \( \frac{1}{\sqrt{29}} \) \( \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix} \)

v₂*=\( \frac{1}{\sqrt{29}} \)\( \begin{pmatrix} -2\\5 \end{pmatrix} \)

B=  \( \frac{1}{\sqrt{29}} \) \( \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \)

B^TAB = \( \begin{pmatrix} 29 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) gilt dann:

p^TB = (-435, 0)

29*s₁²-435s₁ = 0

Da λ₁ ≠ 0 erhält man durch quadratische Ergänzung

s₁ (s₁-15) = 0 und das ist ja ein paralleles Geradenpaar.

Wo liegt mein Fehler? 

Answer 1

Du hast falsche Eigenvektoren und die Reihenfolge der Eigenwerte verwechselt:

$$B = \frac{1}{\sqrt{29}}\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$$

B^TAB=$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 29 \end{pmatrix}$$

p^TB= $$\frac{1}{\sqrt{29}}\begin{pmatrix} -87 \\ 0\end{pmatrix}$$