y=tan(x)-x über [-pi/2,pi/2] bijektiv?

Question

ist f(x)=tan(x)-x über [-pi/2,pi/2] bijektiv? Ich würde sagen nein, da für x={0,0.1,0.11...} doch der gleiche y-Wert herauskommt und die Funktion somit nicht injektiv ist. Aus der mir vorliegenden Aufabenstellung geht jedoch hervor, dass f(x) im besagten Intervall umkehrbar sein soll? Wie passt das zusammen?

schon einmal vielen Dank,

Grüße

Comments

(-pi/2,pi/2), anstatt [-pi/2,pi/2]

Answer 1

f(x)=tan(x)-x über [-pi/2,pi/2]

ist in x = ± π/2 ∈ [-pi/2,pi/2]  überhaupt nicht definiert, kann " über [-pi/2,pi/2] " also auch nicht bijektiv sein.

Gruß Wolfgang

Comments

Das ist natürlich richtig. Es handelt sich eigentlich auch um ein offenes Intervall.

Es ist spät. Verzeihung.

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f ( ] -π/2 ; π/2 [ ) = ℝ , weil  tan(  ] -π/2 ; π/2 [ ) = ℝ und x∈ ] -π/2 ; π/2 [ 

f:  ] -π/2 ; π/2 [  →  ℝ  ist streng monoton steigend ( f' '(x) ≥ 0 mit der einzigen Nullstelle x=0) und damit insbesondere injektiv.

Für jedes y ∈ ℝ gibt es x ∈ ] -π/2 ; π/2 [  mit f(x) = y, die Funktion ist also surjektiv.

→ die Funktion ist bijektiv