Für Injektivität: Seien \( (x_1,x_2), (y_1, y_2) \in \mathbb R \times [0,\infty) \) mit \( f(x_1,x_2) = f(y_1,y_2) \) dann ist
$$ (-\sqrt{x_2}, x_1^3 + x_2) = (-\sqrt{y_2}, y_1^3 + y_2) $$ und das ist genau dann der Fall wenn
$$ -\sqrt{x_2} = -\sqrt{y_2} \quad\text{und}\quad x_1^3 + x_2 = y_1^3 + y_2 $$
versuche daraus jetzt mal auf \( x_1 = y_1 \) und \( x_2 = y_2 \) zu schließen.
Für die Surjektivität: Sei \( (z_1,z_2) \in (-\infty, 0] \times \mathbb R \),dann suchst du \( (r,s) \in \mathbb R \times [0,\infty) \) mit
$$ f(r,s) = (-\sqrt s, r^3 +s ) = (z_1, z_2) $$
das ist eig. auch nicht so schwer...
