Inverse/bijektive Abbildung?

Question

Hat folgende Abbildung eine inverse Abbildung bzw. ist sie bijektiv?

f: ℕ → ℕ, x ↦ x² + 1

mfg

Answer 1

Da auf N abgebildet wird ist f nicht bijektiv, da nicht alle Elemente des Bildraumes "getroffen" werden. Es existiert auch keine Inverse.

Du kannst die Inverse bestimmen in dem du f(x) nach x umstellst. Dabei folgt als inverse:

f_inv(x) = Wurzel(x-1) was für x element N jedoch auch Lösungen in R liefert. Eine Umkehrung auf N existiert also nicht.

Comments

viel dank für die antwort :)

Ich habe noch ein Frage und zwar was ist wenn jetzt anstatt das x² dort ein 2x stehen würde dann wäre die Umkehrfunktion ja f_inv(x) = (x/2) -1 und auch das würde Ergebnisse in ℝ liefern und wäre demnach nicht invers. Seh ich das richtig?

mfg

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meines erachtens ist es genau wie Du sagst. Die Urbildmenge ist N. eine umkehrfunktion (bijektion) muss vollständig auf die Urbildmenge zurück abbilden. Das ist in Deinem zweiten Fall nicht gegeben. Wenn man Urbildraum und Bildraum in Deiner zweiten Funktion in R wandelt, wäre diese dann bijektiv und hätte eine Umkehrung. Für Deine Erste Funktion wäre in R keine bijektivität gegeben  weil wiederum nicht jedes element in der Bildmenge getroffen würde (nicht surjektiv) und elemente in der Zielmenge mehrfach angenommen werden (nicht injektiv).